Матрицы и их свойства. Сумма и произведение матрицы. Квадратная матрица. Свойства операции умножения матриц

Глава 6 Матрицы и их свойства.

Определение 1: Матрицей называется прямоугольная таблица вида:

числа строк – m и число столбцов – n, называют размерами матрицы.

Определение 2:     Суммой матриц А и В одинаковой размерности  называется матрица C той же размерности  такая, что

С_ij=a_ij+b_ij для всех _ij.

Определение 3:     Произведением матрицы А на число  называется матрица А элементами которой являются а_ijдля всех _i и _j.

Определение 4:     Пусть матрица А имеет размерность , а матрица В имеет размерность . Произведением матрицы А и матрицы В называется матрица С=АВ размерности  такая, что

С_ij=a_i1b_1j+a_i2b_2j+…+a_inb_kj

Определение 5:     Матрица называется квадратной если число ее строк равно числу столбцов.

Определение 6:     Квадратная матрица вида:

называется единичной матрицей Е.

Свойства операции умножения матриц.

1.  А(ВС)=(АВ)С – ассоциативность.

2.  А(В+С)=АВ+АС – дистрибутивность.

3.  (А+В)С=АС+ВС - дистрибутивность.

4.   - где  - число.

5.  Если Е единичная матрица то АЕ=А и ЕВ=В.

Следует отметить, что операция умножения матриц не обладает свойством коммутативности.

6.  Любой матрице А размером  можно сопоставить матрицу А^T (матрица транспортированная к А) размером . Строки матрицы А^T – это столбцы матрицы А с сохранением их порядка. Причем операция умножения матриц обладает следующим свойством.             

Если  матрица квадратичная то можно вычислить определитель такой матрицы. Причём с определителем матрицы тесно связано понятие невырожденной матрицы.

Определение 7:     Квадратная матрица А называется невырожденной если ее определитель не равен нулю.

Даем еще одно очень важное свойство матриц. Оно касается обратных матриц.

Определение 8:     Квадратная матрица  В размерности  называется обратной, если АВ=ВА=Е, где Е – единичная матрица. Обозначается обратная матрица А^-1 то есть В=А^-1. Следующая теорема позволяет установить  один из способов нахождения  обратных матриц.

Теорема:

Для всякой невырожденной квадратной матрицы А существует обратная матрица причём она вычисляется по следующему правилу.

где  - определитель n- ого порядка квадратной матрицы А размерности .

А_ij – алгебраические дополнения к элементам определителя, причём  следует отметить, что алгебраические дополнения вычисленные к элементам строки определителя располагаются в обратной матрице в соответствующем столбце.

Существует еще один алгоритм вычисления обратной матрицы, приведём его здесь:

1.  Приписать справа к матрице А единичную матрицу соответствующих размеров .

2.  Элементарными преобразованиями строк матрицу  преобразовать к виду .

3.  Получившаяся в первой половине матрица В и будет обратной для матрицы А то есть В=А^-1.

Ниже будет рассмотрен пример применения этого алгоритма.

Рассмотрим примеры решения задач по теме главы 6.

Пример 1:

Найти матрицу С, являющуюся суммой двух матриц А и В.

Решение:

.

Пример 2:

Найти произведение матрицы А на число , если:

Решение:

.

Пример 3:

Некоторая фирма занимается реализацией товара в трёх районах. Данные об уровне продаж товаров по районам образуют матрицу А размерности ,строки матрицы соответствуют районам, а столбцы – видам товара. Цены на реализуемые товары образуют матрицу С столбец размерности .

Найти матрицу Р характеризующую суммарную продажу по районам, если :

Объемы продаж заданы в тыс. штук. Цены в тыс.руб/тыс.штук.

Решение:

Для нахождения матрицы Р, необходимо матрицу А размером  умножить на матрицу С размером . Проверяем соответствие размерностей перемножаемых матриц, количество столбцов матрицы А равно количеству строк матрицы. Такие матрицы можно перемножать. Размерность результирующей матрицы Р получится .

Таким образом искомая матрица Р характеризующая суммарную продажу по районам имеет вид:

.

Пример 4:

Даны две матрицы А размерности  и В размерности . Найти произведение матриц А^.В и В^.А если:

Решение:

Найдём произведение матриц А^.В. Проверяя  соответствие размерностей матрицы А  и матрицы В мы выделим, что перемножение матриц возможно, причём в результате мы получаем матрицу размером , то есть матрицу, содержащую только один элемент.

Теперь найдём произведение матриц В^.А. Произведение таких матриц тоже возможно, так как размерность матрицы В , а матрицы А , причем результирующая матрица имеет размерность

Пример 5:

Найти обратную матрицу для заданной матрицы С если:

Решение:     

1^й способ:

Прежде чем находить С^-1 определим, является ли матрица С невырожденной. Для этого найдём определитель матрицы С.

    матрица является невырожденной поэтому существует обратная матрица С^-1.

Для того чтобы воспользоваться теоремой о нахождении обратной матрицы найдём алгебраические дополнения ко всем элементам определителя.

Зная алгебраические дополнения и определитель матрицы запишем обратную матрицу С^-1.

Правильность вычислений легко можно проверить если найти произведение матриц   должна получится единичная матрица Е.

таким образом вычисления проведены верно.

2^й способ:

Найдём обратную матрицу с помощью алгоритма нахождения обратной матрицы.

Задана матрица С

припишем справа единичную матрицу Е размером  получим:

осуществляем элементарные преобразования строк, чтобы преобразовать матрицу к виду

Полученная матрица D является обратной к матрице С, то есть:

В процессе преобразования матрицы были выполнены следующие элементарные преобразования:

1.  Из третьей строки вычли вторую строку и результат записали на место третьей строки.

2.  а) Первую строку умножили на (-2) и сложили со второй строкой, результат записали на место второй строки.

б) Первую строку умножили на (-1) и сложили с третьей строкой, результат записали на место третьей строки.

3.   а) Третью строку сложили со второй строкой, результат  записали на место второй строки.

б) Третью строку умножили на (-3) и сложили с первой строкой, результат записали на место первой строки.

4.  Поменяли местами первый и второй столбцы.

Задачи для самостоятельного решения

1. Найти произведение матриц АВ и ВА если заданы матрицы А и В.       

2. Найти сумму матриц А и В если:

3. Предприятие выпускает три вида продукции П₁,П₂,П₃ используя два вида сырья S₁, S₂. нормы расхода сырья заданы матрицей А размером . Где столбцы характеризуют виды продукции, а строки виды сырья. План выпуска продукции задан матрицей столбцом С размером . Стоимость каждого из видов сырья в расчёте на единицу сырья заданы матрицей строкой Р размером . Найти реализации данного плана если:

4. Для матрицы вычислить матрицы А²=А^.А; А³=А^2.А; В=Е-2А+А², где Е единичная матрица.

5. При каком соотношении между параметрами k и l будет  справедливо равенство АВ=ВА если: