Поверхности второго порядка. Основные типы поверхностей второго порядка. Эллипсоид вращения. Однополосный гиперболоид вращения

Глава 10 Поверхности второго порядка.

10.1 Основные  типы поверхностей второго порядка.

Определение 1:     Цилиндрической поверхностью называется  поверхность описываемая прямой, остающейся параллельно некоторой данной прямой и пересекающей заданную линию L.

Пример цилиндрической поверхности круговой цилиндр имеет уравнение:

x²+y²=r²

Образующая параллельна оси ОZ.

В качестве второго примера рассмотрим поверхность:

у=е^х

Образующая этой поверхности параллельна оси OZ, а направляющая линия расположена в плоскости ХОУ и представляет собой экспоненту у=е^х.

Определение 2:     Конической поверхностью называется поверхность описываемая прямой проходящей через данную точку - вершина конуса – и пересекающую данную линию – направляющую конуса. Прямая называется образующей конуса.

Простейшее уравнение кругового конуса:

х²+у²-z²=0

Вершина конуса находится в начале координат.

Рассмотрим некоторые типы поверхностей, которые носят общее название – поверхности вращения.

1.  Эллипсоид вращения.

Поверхность получается вращением эллипса    вокруг оси OZ.

2.  Однополосный гиперболоид вращения

;

Поверхность получается вращением гиперболы               вокруг оси OZ.

3.  Двуполостный гиперболоид вращения.

Поверхность получена вращением гиперболы   вокруг оси OZ.

4.  Параболоид  вращения.

х²+у²=2рz

Поверхность получается вращением параболы у²=2рz вокруг оси OZ.

Рассмотренные поверхности вращения, легко обобщаются в эллиптические поверхности  при замене окружности эллипсом.

Тогда имеем.

1.  Эллипсоид

 (Рис. 10.1)

2.  Однополосный гиперболоид

 (Рис. 10.2)

3.  Двуполостный гиперболоид

(Рис.  10.3)

4.  Эллиптический параболоид

 (Рис. 10.4)

5.  Конус второго порядка

 (Рис. 10.5)

6.  Гиперболический параболоид

 (Рис. 10.6)

7.  Цилиндры второго порядка

а)  Эллиптический.

 (Рис. 10.7)

б)  Параболический

 (Рис. 10.8)

в)  Гиперболический

 (Рис. 10.9)

                                            z

                                                   

 

0                                                   y     

x

Рис 10.1.

 

z

 

                                                                                               y

 

x

Рис 10.2

                                                       z

 

                                                         0                                             y                                   

                               

x

Рис 10.3

                                                 z

                                                0                                                              y                                               

                             

                                             ^X  

 

 

Рис. 10.4

                                                       z

 

0  y

1                                 

                      x

 

Рис 10.5

 

z

 

                                                    0                                                             y

 

                  x

Рис. 10.6

                                                    z

                                                                                                     y

 

x

Рис. 10.7

 

z

0                                            y

x

Рис. 10.8

                                                    z

 

0                                                        y

 

x

Рис. 10.9

Рассмотрим общее уравнение поверхности второго порядка, которое преобразуется с помощью формул параллельного переноса системы координат одному из уравнений поверхности второго порядка.

Ax²+By²+Cz²+2Dx+2Ey+2Fz+G=0

Для преобразования этого уравнения будем использовать формулы параллельного переноса:

x=x₀+x₁

y=y₀+y₁

z=z₀+z₁

где О₁(х₀,у₀,z₀) координаты нового начала координат    х₁, у₁, z₁  новые координаты.       

Рассмотрим пример преобразования общего уравнения поверхности.

Пример 1:

Определить тип поверхности и сделать её схематический чертёж.

x²+y²-z²+2x-4y+6z-6=0

Решение:

Воспользуемся формулами параллельного переноса.

(х₀+х₁)²+(у₀+у₁)²-(z₀+z₁)²+2(x₀+x₁)-4(y₀+y₁)+6(z₀+z₁)-6=0

Преобразуем это уравнение

Найдём координаты нового начала координат, приравняв к нулю коэффициенты  при х₁,у₁,z₁, получим:

Тогда можно определить свободный член

В новой системе координат уравнение получим в виде.

Полученное уравнение представляет собой двуполостный гиперболоид вращения относительно оси О₁Z₁. Изобразим его схематически.      (Рис. 10.10)

                                      z                      z₁

                                                                                                            y₁

0₁

 

x₁

                                                                                                           y

                                     0                      

x

Рис. 10.10