Система координат. Операции над векторами. Понятие о системах координат. Определение положения точек на плоскости

Аналогично вводится понятие системы координат на плоскости, которая используется уже для определения положения точек на плоскости.

                                                      у

                                              М₂              М(х,у)

 

0           М₁                                           х

Рис. 1.2

Если на плоскости зафиксирована точка 0 (начало координат), через точку 0 проведены две взаимно-перпендикулярные оси ОХ и ОУ (Рис. 1.2), на осях установлены единицы масштаба, то говорят, что на плоскости задана прямоугольная система координат.

Если на плоскости задана прямоугольная система координат, то любая точка плоскости задаётся упорядоченной парой чисел, которые называются координатами. Если рассмотреть в пространстве фиксированную точку (начало координат), провести через неё три взаимно-перпендикулярные прямые оси ОХ,ОУ,ОZ, (Рис. 1.3) на осях установить единицы масштаба, то говорят, что в пространстве задана прямоугольная система координат.

                                                           z

                                                 М₃    

                                                                     М(х,у,z)     

                                                      0               М₂         у

М₁                Р(х,у)

х

Рис. 1.3

В пространстве каждой точке соответствуем единственная упорядоченная тройка чисел. Справедливо и обратное утверждение.

1.2 Понятие вектора. Действия над векторами.

Введём теперь в рассмотрение понятие векторной величины.

·  Скалярная величина – это такая величина, которая определяется только числовым значением. (масса, плотность, объем, и т.д.). В математике определение вектора даётся абстрактно.

·  Вектором называют отрезок прямой на котором установлено направление.

А – начало вектора                                                  В                       

В – конец вектора

Обозначения:                

                                              А

Рис. 1.4

Расстояние между началом и концом вектора называют длиной вектора (модулем) обозначают  или .

·  Если начало и конец вектора совпадают то вектор называется нулевым.

·  Векторы  и  называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых.

·  Два вектора  и  называются равными если:

o  Их длины равны, т.е.

o  Они коллинеарные

o  Одинаково направлены

·  Векторы  и  называются противоположными:

o  Их длины равны

o  Они коллинеарные

o  Они противоположно направленные

·  Суммой двух векторов  и  называется вектор  проведённый из начала вектора  в конец вектора , если конец вектора  и начало вектора  совмещены (Рис. 1.5)

Рис. 1.5

Операция сложения векторов обладает свойством переместительности и сочетательности

1)               (переместительные)

2) (сочетательные)

Операция вычитания векторов вводится как операция, обратная сложению.

·  Разностью двух векторов  и  называется такой вектор , что

+=

Вектор  это вектор который

проведён из конца вектора

в конец вектора , если начало

           и  совмещены.

 

Рис. 1.6

·  произведением вектора на число  называется вектор  обладающий следующими свойствами:

1.  =

2.  Вектор коллинеарен вектору  и направлен также как вектор , если  и противоположен вектору  если .

Свойства умножения вектора на число:

а)

б)

в)

Используя операцию умножения вектора на число можно ввести аналитическое условие коллинеарности двух векторов.

·  Чтобы вектора  и  были коллинеарными необходимо и достаточно, чтобы выполнялось равенство:

  =

где  - некоторое число.

Прежде чем перейти к исследованию связи векторов и систем координат необходимо ввести ещё одну операцию действия над векторами, это проекция вектора на ось.

·  Числовой проекцией вектора  на ось  называется число равное длине вектора  где  и  проекции на ось  соответственно точек А и В взятое со знаком ‘-’ если направление вектора  совпадает с направлением оси   и со знаком ‘-’ если направление вектора  противоположно направлению оси . Проекция вектора  на ось  обозначается  (Пр_l)

                                                                      

 

Рис. 1.7

Таким образом:

Пр_l, если направление  совпадает с осью

Пр_l, если направление вектора противоположно оси .

Свойства операций:

1.  Проекция суммы векторов равна сумме проекций слагаемых векторов на ту же ось.

Пр_l=Пр_l+ Пр_l

2.  Проекция  вектора  на ось  равна длине вектора  умноженной на косинус угла  между осью  и вектором  т.е. Пр_l=.

3.  Постоянный множитель можно выносить за знак проекции Пр_е=     Пр_l.

Мы рассмотрели способ задания вектора с помощью определения его длины и направления. Однако большой интерес представляет способ задания вектора с помощью чисел.

Пусть в пространстве задана прямоугольная система координат ОХУZ. Рассмотрим в пространстве произвольный вектор . Найдём его проекции на оси координат и введём обозначения:

x=Пр_ох

y=Пр_оу

z=Пр_оz

x, y, z – координаты вектора.

                                                           z

                                                 М₃    

                                                                     М(х,у,z)      

                                                      0               М₂         у

М₁                

х

Рис. 1.8

Так как проекция вектора на ось определяется однозначно, то каждому вектору  соответствует единственная упорядоченная тройка чисел x, y, z – координаты вектора .

Рассмотрим операции над векторами, заданными своими координатами