Расчёт статически-неопределимых систем методом сил. Общие понятия о статически-неопределимых системах, страница 2

На рис. 6.3., в показан другой вариант основной системы, полученный из заданной системы путем разреза горизонтального элемента (ригеля) на две части. Основная система состоит теперь из двух ломаных стержней, каждый из которых заделан на одном конце, поэтому статически определим. В месте разреза приложены (к обоим стержням) внутренние силовые факторы: Х₁ (продольные силы), Х₂ (поперечные силы) и Х₃(изгибающие моменты).

В третьем варианте в систему введены три шарнира (рис. 6.3, г). Полученная трех шарнирная рама является статически определимой системой.

Введение шарниров уничтожает внутренние моменты. Для того чтобы полученная основная система была эквивалентна заданной системе, необходимо приложить в местах введенных шарниров внешние моменты Х₁, Х₂ и Х₃. Естественно, что моменты X₃приложены как к левому, так и к правому стержню, так как действие левой части на правую, равно противодействию правой части на левую.

Из рассмотренного примера видно, что основная система статически определимая система, полученная из заданной путем отбрасывания связей и замены их лишними неизвестными. Число полученных неизвестных равно степени статической неопределимости заданной системы. Основная система должна быть неизменяемой.

Необходимо отметить, что окончательный результат расчета при любом варианте основной системы будет один и тот же. Различие будет только в сложности вычислений, поэтому выбору основной системы из множества возможных вариантов придается большое значение.

          В качестве лишних неизвестных мы приняли внутренние силовые факторы, т.е. силы, поэтому метод расчета статически неопределимых систем в этом случае носит название метода сил.

          7.3. Составление расчетных уравнений по методу сил

Рассмотрим технику составления расчетных уравнений, позволяющих определить значения лишних неизвестных. В примере, рассмотренном в 6.1., было одно лишнее неизвестное, поэтому перемещение от силы X = 1 по направлению этой силы было обозначено d_ХХ.

В общем случае число неизвестных будет п (Х₁, Х₂, ..., Х_п). Условимся перемещения от единичных значений неизвестных Х₁ = 1; Х₂= 1... Х_п = 1 обозначать d₁₁, d₁₂, ..., d_nn . Таким образом, индексы у перемещений d от сил X = 1 будут совпадать с индексами у соответствующих сил X. Так, например, перемещение от силы Х_k = 1 по направлению этой же силы будет d_kk; перемещение от силы Х_k = 1 по направлению другой силы Х_i будет d_ik • Напомним, что первый индекс у перемещения обозначает направление, по которому оно определяется, а второй - причину, которая его вызвала.

При расчете основной системы следует исходить из условия, что она будет деформироваться так же, как заданная система. Поясним это на примере рамы, показанной на рис. 6.4, а. Основная система для нее изображена на рис.

6.4, б.

Реакции Х₁ и Х₂ пока неизвестны. Для их определения послужит условие равенства нулю вертикального и горизонтального перемещений точки В; только при этом условии обе системы (заданная и основная) будут деформироваться одинаково, как показано пунктиром.

Таким образом, полные перемещения точки Впо направлению лишних неизвестных от заданной нагрузки и от самих неизвестных должны равняться нулю:

D1 =D1P +D1X1 +D1X2 = 0 D2 =D2P +D2X1 +D2X2 = 0

где D₁ - полное перемещение от всех сил по направлению лишнего неизвестного X₁;   D₂ - то же, по направлению Х₂ ; D_1P и D_2P - перемещения по направлению X₁ и Х₂от всей заданной группы внешних сил;  D_1X1 - перемещение по направлению Х₁ от самой силы X₁;  D_1X2  - то же, от силы Х₂; D_2X1 и D_2X2 перемещения по направлению силы Х₂ соответственно от Х₁  и Х₂.

Так как силы Х₁ и Х₂неизвестны, вначале найдем соответствующие перемещения от этих сил, равных единице, тогда:

                                  D1X1 =d11 X1;             D1X2 =d12 X2;

                                  D2X1 =d21 X1;            D2X2 =d22 X2;

Подставляя эти выражения в (6.3), будем иметь

d11 X1 +d12 X2 +D1P = 0

d21 X1 +d22 X2 +D2P = 0

Полученные уравнения называются каноническими уравнениями  метода сил. (Термин «канонические» здесь употребляется в том смысле, что уравнения составляются по определенным правилам - законам.) Входящие в уравнения (6.4.) величины  d   и   D   вычисляются по формуле Мора.

Из уравнений (6.4.) можно определить неизвестные Х₁ и Х₂. Если система n раз статически неопределима, то и число уравнений будет n:

Это общий вид системы канонических уравнений. Коэффициенты расположенные на главной диагонали называются главными коэффициентами, они всегда положительные, коэффициенты расположенные на второстепенной диагоналях – называются второстепенными, они могут быть как положительные, так и отрицательные по своей величине. Грузовые коэффициенты тоже могут быть как положительные, так и отрицательные.