Построение эпюр внутренних усилий в статически неопределимых системах

Лекция 8

Построение эпюр внутренних усилий в статически неопределимых системах

          8.1. Определение внутренних силовых факторов

При вычислении внутренних силовых факторов (изгибающих моментов М, поперечных и продольных сил Qи N) найденные значения неизвестных следует рассматривать как внешние силы, приложенные к основной системе.

Вначале рассмотрим метод определения изгибающих моментов. От единичных значений неизвестных моменты равны М_х, М₂, ..., М_n. Для получения моментов от истинных значений неизвестных необходимо моменты М умножать на значения неизвестных X, тогда получим «исправленные» моменты от лишних неизвестных M₁X₁, M₂X₂, М₃Х₃. Сложив эти значения и прибавив к полученному результату моменты М_Pв основной системе, получим для произвольного сечения в какой-либо точке k момент в заданной системе

                    М_к = M_k1 X₁ + М_к2Х₂ + ... + M_knX_n + М°_кP.

Аналогичные формулы можно написать для поперечных и продольных сил

                  О_к = Q_k1 X₁ + Q_k2 X_{2 г} + … + Q_kn X_n + Q_kP;                  N_k = N_k1 X₁ + N_k2X₂ + ... + N_kn„X_n + N_iP.

Для построения окончательной эпюры моментов необходимо построить «исправленные» эпюры М₁Х₁ ,М₂Х₂, ..., М_пХ_п. Для этого все ординаты единичных эпюр следует умножить на соответствующие значения неизвестных и составить окончательную эпюру моментов путем простого суммирования исправленных эпюр и эпюры от нагрузки Мр.

Для построения эпюр Q и N в заданной статически неопределимой системе нет необходимости пользоваться формулами (6.12), а проще построить их на основании окончательной эпюры моментов.

Рассмотрим технику решения задач на примере, для которого проведен расчет в прошлой лекции. 

Пользуясь найденными значениями неизвестных X₁ = - 5,92562 кН,    Х₂ = 0,31818 кН,     Х₃ == - 0,02479 кН/м и умножив на них ординаты единичных эпюр, изображенных на рис. 6.6,б, в, г, получим исправленные эпюры, изображенные на рис. 6.7, а, б, е. Сложив эти эпюры и прибавив к ним эпюру от нагрузки, показанную на рис. 6.6, а, получим окончательную эпюру моментов в заданной системе (рис. 6.8, а).

Для построения эпюры Qвоспользуемся известным дифференциальным соотношением dM/dx = Q.

Для стержней, в пределах которых эпюра Мочерчена прямой линией, производная dM/dx определится как угол наклона прямой линии к оси стержня    dM/dx= ±tga.

Условимся ординаты эпюры моментов откладывать со стороны растянутых волокон. Для определения знака поперечной силы будем поворачивать ось стержня до совмещения с линией эпюры моментов так, чтобы осуществить это кратчайшим путем. Если поворот происходит по ходу часовой стрелки, то поперечная сила будет положительной (Q > 0). При движении против хода часовой стрелки Q < 0. Некоторое затруднение возникает, если эпюра М на какомлибо стержне криволинейная, тогда необходимо рассмотреть такой стержень как балку на двух опорах, приложив к нему нагрузку и концевые моменты, и построить для него эпюру Q.

Для построения эпюры Nпроще всего воспользоваться методом вырезания узлов, при этом найденные значения Q необходимо приложить к соответствующим сечениям как внешние силы. Составив сумму проекций найденных сил Q и неизвестных N, легко определить значения последних.

Продолжим пример, для которого построена эпюра моментов. Для левой стойки имеем

Q_p = - (2,38015 + 1,43801)/12 = = - 0,31818 кН. 

          Для правой стойки

                Q_p = (1,93387 - 0,02479)/6 = + 0,31818 кН.

Для горизонтального стержня эпюру Q построим как для простой балки с равномерной нагрузкой q = 2 кН/м и моментами на концах 2,38015 кНм и 1,93387 кНм. 

            Окончательная эпюра Q_p показана на рис. 6.8, б. 

Для определения значений продольных сил последовательно вырежем левый и правый (верхние) узлы рамы (рис. 6.9). Из условия равновесия     находим     

                      N_1p = - 6,07438 кН, 

                      N_2p = - 0,31818 кН, 

                      N_3p = = - 5,92562 кН.

Окончательная эпюра N_pв статически неопределимой раме показана на рис. 6.8, в.

            8.2.  Проверка правильности решения

В процессе расчета статически неопределимой рамы обычно проводятся проверки промежуточных вычислений, а также проверка окончательных результатов. В первую очередь желательно проверить правильность вычислений коэффициентов канонических уравнений. Для этой цели строится эпюра M_S, являющаяся суммой всех эпюр от единичных pначений лишних неизвестных M_S = M₁ + M₂  + ... +  М_п.

Вычислив интеграл Мора, получим сумму коэффициентов при неизвестных в k-ом каноническом уравнении

dks = Mk       Msds =     Mk (M1 + M2 +  + Mn )ds = EI   EI   =     Mk M1ds + Mk M2ds + +     Mk Mnds   

                                      EI                    EI                            EI

n

=dk1+dk2 dkn = dki

i=1

Принимая k = 1, 2,..., n, можем проверить все коэффициенты канонических уравнений. Суммы элементов первой, второй и т.д. строк, соответственно, равны результатам перемножения каждой из единичных эпюр с эпюрой M_s.