Построение эпюр внутренних усилий в статически неопределимых системах, страница 2

Если эпюру M_sумножить саму на себя, получим сумму всех единичных коэффициентов системы канонических уравнений.

            В самом деле, вычислим интеграл Мора:

dss = =

Ms2ds =      (M1 + M2 +              EI                              EI M12ds +       M22ds +    + 2( EI                 EI

+ Mn )2ds = M1M2ds + EI

M1M3ds + EI

+

+          Mn-1Mnds) =d11+d22 + +dnn + 2(d12 +d13 +  +dn-1,n ) EI

          Первые п слагаемых равны сумме главных перемещений, расположенных на главной диагонали системы канонических уравнений, а последнее слагаемое составляет сумму всех побочных перемещений (так как d_ik = d_ki). В итоге d_ss  составляет сумму всех элементов системы канонических уравнений.  

Для проверки правильности окончательной эпюры моментов выполняется перемножение окончательной эпюры М_р на любую из единичных эпюр. Например, вычислим результат перемножения эпюры М_k от единичного значения k-ro неизвестного и эпюры М_р. Учитывая формулы (6.11), получим

Mk         M pds =    Mk (M1X1 + M2 X2 +  + Mn Xn )ds = EI EI   

=dk1X1 +dk2 X2 dkn Xn +Dkp = 0

т. е. левую часть k-го канонического уравнения, которая равна нулю, так как перемещение по направлению этого неизвестного равно нулю.

Таким образом, результат перемножения окончательной эпюры моментов М_р на любую из эпюр от единичных неизвестных М_k равен нулю. Точно такой же результат даст перемножение окончательной эпюры моментов М_р и эпюры M_s.

Для проверки определения перемещений от нагрузки по направлению неизвестных необходимо эпюру М_р умножить на суммарную эпюру M_s. В результате получим 

                D_sp = D_1р + D_2р + ... + D_nP.

Проверка эпюр Q_pи N_p проводится одновременно. Для этого из рамы вырезаются какие-либо части, в местах разрезов прикладываются силы Q_pи N_p и проверяется равновесие вырезанных частей путем составления суммы проекций всех сил на какие-либо оси.

Выполним проверки для примера, рассмотренного в предыдущей лекции. На рис. 6.10 показана суммарная эпюра, которая получена путем_сложения трех единичных эпюр М₁ + М₂ +  М₃ (см. рис. 6.6). Применяя формулу Верещагина для перемножения трапеций, получим

d_ss = ¹² (2 11² + 2 1² -11 1-1 11)+

6EI

                    +(2 11² + 2 5² +11 5+ 5 11)+                       

+ 6 (2 52 + 2 12 - 5 1-1 5)= 444 + 201 + 42 = 687

                             6EI                                             EI      EI     EI      EI

Сложив все единичные коэффициенты системы канонических уравнений, получим ту же сумму, следовательно, все элементы вычислены верно. 

Перемножим эпюры М_р и M_s:

 Dsp = 366EI12( )5 + 13 (362EI6)Ł192 ł= 2502EI

Заметим, что в скобках показаны ординаты, взятые в эпюре M_s в местах центров тяжестей эпюр М_р; так, например, 19/2 - ордината эпюры M_s в горизонтальном элементе, взятая на расстоянии 3/4 длины от правого конца.

Сложив все элементы вектора D_р, получим значение D_sp (D_sp = 2502/EJ), следовательно, значения D_1р, D_2р и D_зр вычислены правильно.

Проверим теперь окончательную эпюру моментов Мр (см. рис. 6.8), умножив ее на суммарную эпюру моментов M_s. 

Для левой стойки

M  p Msds = EI

= ¹² [2 2,38015 11+ 2 1,43801 1- 2,38015 1-1,43801 11]= 6EI

= 74,08212

EI

При вычислении интеграла для горизонтального стержня разобьем криволинейную эпюру на трапецию (показана на рис. 6.11 пунктиром) и квадратную параболу

Библиографический список

1.  Стоценко А.А., Доценко С.И., Мальков Н.М., Белоконь М.А.. Курс  теории  сооружений. Строительная механика. Часть I. Теория сооружений в инженерном деле. Раздел  I. Концепция сил в строительной механике. - Владивосток, 2001.

2.  Стоценко А.А., Доценко С.И., Мальков Н.М., Белоконь М.А.. Курс  теории  сооружений. Строительная механика. Часть I. Теория сооружений в инженерном деле. Раздел 2. Классификация, рабочее состояние и оценка прочности сооружений. - Владивосток, 2001.

3.  Стоценко А.А., Доценко С.И., Мальков Н.М., Белоконь М.А.. Курс  теории  сооружений. Строительная механика. Часть I. Теория сооружений в инженерном деле. Приложения и дополнения. - Владивосток, 2001.

4.  Дарков А.В., Шапошников Н.Н.. Строительная механика. - М.: Высш. шк., 1986.

5.  Дарков. А.В., Кузнецов В.И.. Строительная механика. - М.: Высш. шк., 1962.

6.  Мухин Н.В.. Статика сооружений в примерах. - М.: Высш. шк., 1979.

7.  Рабинович И.М.. Основы строительной механики стержневых систем. - М.: Стройиздат, 1950.

8.  Розин Л.А., Константинов И.А., Смелов В.А.. Расчет статически определимых стержневых систем. - Л.: ЛГУ, 1987.

9.  Шишман Б.А.. Статика сооружений. - М.: Стройиздат, 1989.

10.  Жемочкин Б.Н., Д.П.Пащевский Статика сооружений. –М.: государственное изд-во архитектуры и градостроительства, 1950.

11.  Голосов В.Н., Ермолов В.В. и др. Инженерные конструкции. – М:Высш. .шк., 1991.

12.  Смирнов В.А., Иванов С.А., Тихонов М.А. Строительная механика – М.: Стройиздат, 1984.