Система предпочтительных чисел. Математическая база предпочтительных чисел. Приближенные предпочтительные ряды

увидим дальше, для системы предпочтительных чисел отобраны показатели степени 5; 10; 20; 40; 80; 160.

3. СВОЙСТВА ОСНОВНЫХ РЯДОВ ПРЕДПОЧТИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ

ГОСТ 8032—84 “Предпочтительные числа и ряды предпочтительных чисел устанавливает четыре основных ряда предпочтительных чисел R5; R10; R20; R40 и два дополнительных R80; R160. Применение последних допускается только в отдельных, технически обоснованных случаях.

Государственный стандарт регламентирует установленные округленные значения как знаменателей прогрессии, так и членов всех рядов предпочтительных чисел.

Перечислим некоторые свойства основных рядов предпочтительных чисел:

1) ГОСТ 8032—84 устанавливает стандартные значения предпочтительных чисел в диапазоне 0<a<∞ на основе фиксированных величин включенных в десятичный интервал 1<a≤10 . Все зти числа в десятичном интервале от 1 до 10 приведены в табл. 1;

2) для перехода от предпочтительных чисел, таблица 1, в любой другой десятичный интервал нужно умножить эти числа на  , где

n — целое число, так при n = -1 числа переходят в интервал 0,1<a<1;

3) для получения значений предпочтительных чисел каждого ряда нужно умножить единицу (вспомним требование: ряды предпочтительных чисел должны включать единицу) на соответствующий знаменатель прогрессии ряда. Дальнейшее последовательное умножение найденных чисел на знаменатель прогрессии и округление полученных значений приведет к одному из рядов. Например, для ряда R 5 первый член — 1, знаменатель прогрессии g = 1,60. Тогда второй член равен 1 ·1,60 = 1,60, третий – 1,60 ∙ 1,60 ≈ 2,50 и т.д.;

4) номер ряда предпочтительных чисел R 5, R10; R20; R40 указывает на количество чисел в десятичном интервале. Принято называть ряды с большим знаменателем и меньшим числом членов разряженными, а ряды с меньшим знаменателем и большим числом членов — густыми;

Таблица 1 - Основные ряды предпочтительных чисел по ГОСТ 8032-84

5) среди чисел таблицы 1 есть число 3,15, которое стандартизаторы используют в своей практике в качестве числа π= 3,I416. Использование при расчетах числа π позволяет выражать предпочтительными числами длины окружностей, площади кругов, скорости резания, цилиндрические и сферические поверхности и объемы.

Если выразить диаметр окружности  d предпочтительным числом ряда  R40 и умножить это число на другое предпочтительное число 3,15, то длина окружности  l=πd  будет представлена предпочтительным числом того же ряда;

6) в практике стандартизации следует предпочитать каждому предпочитать  ряду предыдущий ряд. Ряд  R5 следует предпочитать ряду  R10, R10 – ряду R20 и т.д.;

7) в таблице 1 все предпочтительные числа имеют номера от 0 до 40.

Эти номера облегчают расчеты взаимосвязанных показателей стандартов, ускоряют вычисления. Номера чисел Nпредставляют собой логарифмы предпочтительных чисел а при основании логарифмов, равном знаменателю прогрессии g

N = logga(3)

В практике вычислений для упрощения расчетов используется известное свойство логарифмов, позволяющее вместо умножения или деления самих предпочтительных чисел складывать или соответственно вычитать номера этих чисел, а по результирующему номеру определять искомое число.

Например, необходимо перемножить предпочтительные числа 2,24 и 3,55, то получим 7,952; результат требуется округлить, подвести его к стандартному значению 8,00. При пользовании же номерами предпочтительных чисел (см. таблицу 1) достаточно провести сложение:

N = N2,24 + N3,55 = 14 + 22 = 36

Под номером 36 значится стандартное число 8,00.

Возведение предпочтительного числа в целую положительную или отрицательную степень производят путем умножения порядкового номера предпочтительного числа на показатель степени с последующим нахождением в таблице 1 числа, соответствующего полученному порядковому номеру. Например : 3,I5²,  2N3,15 = 2 · 20 = 40.  Номеру 40 соответствует число 10.

Если учесть, что при умножения предпочтительного числа табл. 1 на  в новом числе запятая оказывается перенесенной на nзнаков (вправо при +n или влево при -n), номер нового числа можно определить по формуле:

N = Nт ± n · 40,    (4)

где  Nт - номер числа в таблице 1

4. ВЫБОРОЧНЫЕ И СОСТАВНЫЕ  РЯДЫ ПРЕДПОЧТИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ

Приведенные выше обозначения рядов (R5; R10; R20; R40; R80; R160) характеризуют ряды не ограниченные никакими пределами.

В практике конструирования, как правило, применяются ряди с ограниченными пределами. Такие ряды обозначаются: R 20 (160 ... 280) — основной ряд R20, ограниченный членом 160 в качестве нижнего предела и членом 280 в качестве верхнего предела. Пользуясь таблицей 1  запишем в развернутом виде последний ряд чисел: