Часто приходится отыскивать неизвестную функцию из соотношения, которое связывает независимую переменную x, искомую функцию y = y(x) и ее производные
y′(x), y′′(x), y′′′(x),..., y(n) (x).
Интегральное исчисление
∫ x2dx ⇒ найти функцию y(x), что верно равенство y′ = x2. x3
Решение
есть функция y(x) = 
+ C.
3 Демографическая модель
Известно, что число новорожденных за единицу времени прямо пропорционально с коэффициентом k1, а число умерших – с коэффициентом k2 – от численности населения.
Пусть y = y(t) – число жителей региона в момент времени .t
|
Задача: |
получить формулу подсчета населения
|
dy = ky dt |
|
Решение. ∆y = k1y∆t − k2 y∆t = (k1 − k2)y∆t – прирост населения за промежуток ∆t . Предельный переход дает тогда y′ = k ⋅ y (k = k1 − k2) ⇒ – демографическая модель
dy dy y kt
⇒
= kdt
⇒
∫ = ∫ kdt
⇒
ln
y = kt +
lnC
⇒
= e
⇒ y
y C
y = Cekt рост численности населения (Мальтус) Радиоактивный распад
Установлено, что скорость распада пропорциональна наличному количеству не распавшегося вещества с коэффициентом пропорциональности k .
Обозначив: x0 — массу радиоактивного вещества в начальный момент времени t = 0,
x− его массу в момент времени t. dx
⇒ =
−kx, k
>
0.
dt
Знак минус указывает на тот факт, что с течением времени масса радиоактивного вещества убывает. dx
⇒ =
−kdt
⇒
ln x = −kt +
lnc.
x
При t = 0 получаем ln x0 = lnc, откуда c = x0.
|
x = x0e−kt |
Значит, — формула для определения количества радиоактивного вещества в любой момент времени t .
⇒ можно произвести датировку событий, имеющих место миллионы лет тому назад.
|
Обыкновенным дифференциальным −го порядка называется соотношение вида
. |
||
|
уравнением n где F −известная независимая y′, y′′,..., y(n) − включительно |
|
Порядком n дифференциального уравнения порядок старшей из входящих в него производных |
||
|
называется y(n) (x). |
|
Если уравнение можно записать в виде
D1 ⊂ Rn+1,то говорят, что дифференциальное уравнение разрешено относительно старшей производной. Его в этом случае еще называют дифференциальным уравнением в нормальной форме. |
Дифференциальное уравнение, в которой неизвестная функция y зависит от одной переменной x, называется обыкновенным. Если же дифференциальное уравнение содержит функцию многих переменных и ее частные производные, то оно называется дифференциальным уравнением в частных производных.
|
|
1) y′ − (2xy′)2 − ln y′ = 0 − обыкновенное уравнение первого порядка;
) ∂2u(x, y) + ∂y производных. |
||||
|
дифференциальное
2) y′′′ = ∂2u(x, y 3) ∂x частных |
|||||
|
Решением дифференциального уравнения (1) всякая действительная функция определенная на интервале (a,b) такая, что: непрерывно дифференцируема на (a,b); (x, y(x), y′(x),...,y(n) (x))∈D ⊂ Rn+2 , для всех D − область определения функции F ; ′(x),...,y(n) (x)) ≡ 0 для всех x∈(a,b). |
||||
|
называется y = y(x), 1) y(x) n раз 2) точка x∈(a,b), где 3) F(x, y(x), y |
|||||
Всякому решению дифференциального уравнения (1) на плоскости отвечает некоторая кривая y = y(x), x∈(a,b), которую называют интегральной кривой дифференциального уравнения (1).
Процесс нахождения решения дифференциального уравнения называется
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.
F(x, y, y′,
y′′,..., y(n)
) = 0 (1) функция,
заданная в области D ⊂ Rn+2,
x − переменная, y =
y(x)
−
искомая функция, а ее производные до n−го
порядка 
Например,
−
yx
−обыкновенное
дифференциальное уравнение порядка в нормальной форме; 
2 =
0
−уравнение
второго порядка в 
1
третьего