Дифференцирование степенных рядов. Исследование сходимости ряда

Страницы работы

15 страниц (Word-файл)

Фрагмент текста работы

Пример 1

∞                     1

n−1

Дан сходящийся ряд ∑ (−1)    2 . Оценить ошибку,

n=1                  n

допускаемую при замене суммы этого ряда: 

1)  суммой первых трех его членов 

2)  суммой первых его четырех членов      Решение.

1) Из формулы S = Sn + rn находим S = S3 + r3 .  Или

| rn |< an+1

S = 1−  +  + r3. Откуда   S =  + r3. По теореме Лейбница . Значит | r3 |< a4 или | r3 |<  = .

Так как r3 = − +  −.....+, то   r3 < 0 

(см.  т. Лейбница)  Для ряда вида 

a1 + a2 a3 +...+ (−1)n an +...,  an > 0оценка суммы ряда имеет вид a1 < S < 0 .   

Тогда  или сумма   

S

с избытком.

2) Аналогично S = S4 + r4. Или S .

Откуда S =  + r4. Далее| r4 |< a5 или | r.

Так как r4 = + −.....+, то   r4 > 0. Значит, сумма ряда

115

S

144

с недостатком

Пример 2

∞             n1 1

Проверить, что  ряд ∑ (−1)             сходится. 

n=1                      n

Сколько нужно взять членов ряда, чтобы вычислить его сумму с точностью до 0,01 ? 

Решение.

1) Ряд сходится, так как все условия т. Лейбница  выполнены.

| rn |< an+1

2) Так как S = Sn + rn и верна оценка , то 

1

требуемое n найдем из условия: an+1 =< 0,01. n +1

1

Из уравнения = 0,01 находим n = 9999  n +1

Итак, | r9999 |< 0,01 причем 0 < r9999 < 0,01. Значит

S = S9999 + r9999 или    S S9999 с  недостатком.

Пример 3Сколько нужно взять членов ряда

∞              n1           n

∑ (−1)  n , чтобы вычислить его сумму с n=1 (2n +1)5 точностью до 0,01 ?

1) Ряд сходится по  т. Лейбница 2) a, a. Значит, надо взять        два        члена        ряда         S = S2 + r2,                  или 

, (с недостатком, так r2 > 0)

Пример 4   Найти сумму ряда

1+ 2x +3x2 + 4x3 +...+...(| x |<1)

Применим  дифференцирование степенных рядов.

Рассмотрим геометрическую прогрессию

1+ x + x2 + x3 +...+... = 1   при (| x |<1)

1− x Дифференцируем этот ряд

(1+ x + x2 + x3 +...+...)′ = ( 1                                       

Применим  интегрирование степенных рядов.

Рассмотрим геометрическую прогрессию

1+ x + x2 + x3 +...+... = 1   при (| x |<1)

1− x

Интегрируем этот ряд

x                     2         3                               x        1

∫(1+ x + x + x +...+...)dx = ∫   dx

0                                                                  0 1− x

Отсюда

x ), 

Ряд сходится при −1 ≤ x < 1   !

k

k +1 ⎞

Здесь an = 0 при n = 2k −1 и an = ⎜ ⎟ при n = 2k ⎝2k +1⎠

Находим 

1                         1                            ⎛2k +1⎞

R = =    = lim      ⎜      ⎟      =    2 nlim→∞ n | an |     lim 2k ⎛⎜ k +1 ⎟⎞k    k→∞ ⎝ k +1 ⎠ k→∞   ⎝2k +1⎠

При x − 2 =   2 имеем числовой ряд

k

⎛         ⎞

k +1 ⎞k                         k +1 ⎟       ∞ ⎛         1     ⎞k

∑ ⎜ ⎟ 2k = ∑ ⎜ ⎟ = ∑ ⎜1+ k=1 ⎝2k +1⎠ k=1 ⎜k + 1 ⎟k=1 ⎝ 2k +1⎠

⎝      2 ⎠


Так                                                                            как

k


k

⎛        1    ⎞            ⎛         1    ⎞

lim⎜1+           ⎟   = lim⎜1+                  ⎟=         e ≠ 0

k→∞⎝      2k +1⎠      k→∞⎝     2k +1⎠

то ряд расходится, ибо общий член ряда не стремится к нулю.

Аналогично, при x − 2 = − 2 ряд расходится.

Итак,

2−

2 < x < 2+

2

— область сходимости ряда

Среди различных аналитических аппаратов исследования функций первое место по своей простоте и удобству употребления занимают  степенные ряды. Идея проста: функция, которую мы хотим изучить, представляется как предел частичных сумм  простейших степенных функций.

Пусть задана f (x)   в окрестности точки  x = x0 .

Предположим,  что f (x) разлагается в  ряд по степеням

(x x0 ): т.е. ряд имеет вид f (x) = a0 + a1(x x0 ) + a2 (x x0 )2 +..+ an (x x0 )n +...(1) с радиусом сходимости R,    (| x x0 |< R)

Этот ряд на интервале сходимости   | x x0 |< R   можно  дифференцировать бесконечно число раз:

f ′(x) = a1 + 2⋅a2 ⋅(x x0 )+3⋅a3 ⋅(x x0 )2..+ nan ⋅(x x0 )n1...

f ′′(x) = 2⋅1⋅a2 +3⋅2⋅a3(x x0 ) +..+ n⋅(n −1)⋅an ⋅(x x0 )n2...

……………………………………………………………… f (n)(x) = n⋅(n −1)⋅...⋅1⋅an + (n +1)⋅n⋅...⋅3⋅2an+1 ⋅(x x0) +...

Положим в каждом равенстве x = x0. Тогда последовательно получаем коэффициенты Тейлора:

f ′(x0 ), a = f ′′(x0 ),…a = f (n) (x0 ) a0 = f (x0 )     a1 = 2 n ,.

1!                    2!                     n!

Итак, если функция f (x) разлагается в  ряд по степеням

(x x0 ), то этот ряд имеет  вид      

f ′′(x ) f (x) = f (x0 )+ f ′(x0 )(x x0 ) + (x x0 )2 +...

f (n) (x )                            ∞        (n)                           n

+    0 (x x0 )n +... = ∑ f   (x0)(x x0)           n!    n=0   n!

(2)

Определение.

Степенной ряд вида (2) называется рядом функции f (x) в точке x0. Если x0 = 0, то ряд 

f n (0)   n                ∞    f (n)(0)    n

f ′(0)x +..+    x +...= ∑ x (3) nn=0   n!

рядом Маклорена.

Тейлора  f (x) = f (0) + называется

Разложение в ряд Тейлора (Маклорена) было получено в предположении, что f (x) разлагается в  ряд.

Теперь откажемся от этого предположения. Будем считать только, что f (x) имеет производные любого порядка при x = x0(бесконечно дифференцируема).

Составим ряд Тейлора   

∞    f (n) (x0 )(x x0 )n n=0        n!

(*)

Ниоткуда не следует, вообще говоря, что этот ряд сходится для x x0. Более того, ряд может сходится, а его сумма вовсе не равна f (x) !!!

⎧ − 1

e x2 ,x ≠ 0    (Ряд Маклорена ≡ 0!!!)

Упр.* f (x) = ⎨

⎪⎩0,x = 0

Вопросы: 

1)  при каких условиях этот формальный ряд (*) сходится?

2)  если сходится, то будет ли его сумма S(x) совпадать с функцией f (x), его породившей?

Теорема.

f (n) (x)

M,

(дост. условие разложения в ряд Тейлора).  функция f (x) и ее производные любого порядка  в окрестности точки x0:  (| x x0 |< R)  тем же числом M :   

,....)то ее ряд Тейлора сходится к самой f (xx из этой окрестности | x x0 |< R . функция f (x) разложима в ряд Тейлора, то это  единственно.

Если ограничены одним и

(n = 0,1,2 для любого  Если разложение

Остаточный член ряда Тейлора.

Обозначим Tn (x) сумму первых членов ряда Тейлора 

(n)

                                                                                                                             f      (x0 )           n

Tn (x) = f (x0 ) + f ′(x0 )(x x0 ) +...+            (x x0 )

n!

Остаточным членом ряда Тейлора называют разность

Rn(x) = f (x)−Tn(x)

Таким образом, имеет место формула Тейлора

(n)

f      (x

f (x) = f (x0 )+ f ′(x0 )(x x0 )+...+            0 )(x x0 )n + Rn (x)

n!

Важно знать,  как устроен остаток Rn (x) !!!

Теорема.

Если функция f (x) имеет производную   порядка f (n+1) (x) в окрестности точки x0, то  член имеет вид:

, некоторая точка, лежащая между x  и x0.

(n+1)-го остаточный где  ξ -

При n = 0 из формулы Тейлора имеем  

f (x) = f (x0) + f ′(ξ)(x x0)     -формула Лагранжа  При n = 1 имеем  

f ′′(ξ)

f (x) = f (x0) + f ′(x0)(x x0) +     (x x0)2

2!

Если отбросить остаточный член, то получимf (x) ≈ f (x0) + f ′(x0)(x x0)2 - формула для вычисления приближенного значения через дифференциал

Само по себе выражение для   Rn(x) не дает возможности вычислять его величину, так как неизвестна точка ξ ,  в  которой вычисляется f (n+1) (x).

Удобно пользоваться следующей оценкой : если  производную  f (n+1) (x) удовлетворяет условию

f (n+1) (x)

M n+1,

для некоторого числа M n+1, то 

| x x |n+1

| Rn (x) |≤ M n+1 ⋅ 0 n +1

Этой формулой можно пользоваться для оценки точности    аппроксимации   функции       f (x)         ее многочленом Тейлора Tn(x).

Разложение некоторых элементарных функций в степенные ряды

Выпишем теперь разложение в степенные ряды Маклорена (при x0 = 0) некоторых элементарных функций:

1) f (x) = ex       

Имеем                f ′(x) = ex ,....., f (n) (x) = ex ,.........

Следовательно, при  x0 = 0

ex =1+ x + x2 +...+ xn +... 2!      n!

Найдем радиус сходимости этого ряда

                                    an |= lim       n!     = lim    1   = 0   или R = 1 = ∞   

l = lim |

n→∞ an+1        n→∞ (n +1)!   n→∞ n +1                     l

Значит, ряд в правой части сходится на всей оси   (−∞,+∞).  Если взять промежуток вида [−N,+N],  где N -произвольно, то для ∀x∈[−N, N] имеем оценку                | f (n) (x) |≤ eN = M,∀n = 0,1,2,3....

Согласно теореме (достат. условие) функция f (x) = ex разлагается в ряд Маклорена на всей оси (−∞,∞) так как N -произвольно.

Интересно заметить, что  при x = 1 получаем

1    1 e =1+1+  +...+  +...

2!          n!

2)      f (x) = sin x  

Вычислим

f ),

f ′′′),..., f

f (0) = 0, f ′(0) =1, f ′′(0) = 0, f ′′′(0) = −1,...,

Отсюда       f (2n) = 0, f (2n−1) = (−1)n−1

Тогда               

     

Можно показать, что радиус сходимости ряда   R = ∞

Так как | f x, то ряд сходится к функции sin x на всей оси.

На рис. 3 изображен жирной линией график функции

Y1 = sin x,тонкими линиями его приближение одним членом ряда Маклорена  Y2 =x, приближение четырьмя  отличными

4

2 4 6 n 2n x x x (−1) x cos x =1− + − +...+  +...

2!     4!     6!               (2n)!

Данные разложения верны для x∈(−∞;+∞).

Данное разложение верно при x∈(−1;+1)и, может быть

Похожие материалы

Информация о работе

Тип:
Конспекты лекций
Размер файла:
310 Kb
Скачали:
0