Система трех линейных уравнений. Решение векторных уравнений

или   (λ₁ + λ₂ + λ₃, λ₁ + 2λ₂ + 4λ₂, λ₁ + 3λ₂ + 4λ₃ )= (0, 0, 0). Приравнивая соответствующие координаты двух равных векторов, получим систему трех линейных уравнений:

⎧λ₁ +λ₂ +λ₃ = 0,

⎪

⎨λ₁ + 2λ₂ + 4λ₃ = 0,

^⎪⎩λ₁ + 3λ₂ + 4λ₃ = 0.

Эту однородную систему решим с помощью метода Гаусса

⎡1 ⎢ ⎢1 ⎢ ⎢1 ⎣

1 2 3

1 4 4

0⎤         ⎡1 ⎥           ⎢ 0⎥  ~   ⎢0 ⎥           ⎢ 0⎥⎦       ⎢⎣0

1 1 2

1 3 3

0⎤        ⎡1 ⎥          ⎢ 0⎥  ~  ⎢0 ⎥          ⎢ 0⎥⎦      ⎢⎣0

1 1 0

1 3 − 3

0⎤ ⎥ 0⎥ . ⎥ 0⎥⎦

           Полученной матрице соответствует система уравнений

⎧λ₁ + λ₂ +λ₃ = 0,

⎪

⎨λ₂ + 3λ₃ = 0,

^⎪⎩− 3λ₃ = 0.

          Эта      система      имеет      единственное      нулевое     решение

λ₁ = λ₂ = λ₃ = 0. Следовательно, система векторов a₁,a₂,a₃ линейно независима.

             Пример 2.10. Показать, что система векторов a₁ = (1,−1,1,−1),

a₂ = (1, 0,1, 0), a₃ = (1,−3,1,−3) линейна зависима и найти эту зависимость.

          Решение. Решаем векторное уравнение

                                             λ₁a₁ + λ₂ a₂ + λ₃ a₃ = 0 .                            (2.12)

В координатной записи оно равносильно системе уравнений

⎧λ₁ + λ₂ +λ₃ = 0,

⎪

                                   ⎪− λ₁− 3λ₃ = 0,          ⎧λ₁ + λ₂ +λ₃ = 0,

                                     ⎨                                или  ⎨                             

                                    ⎪λ₁ +λ₂ + λ₃ = 0,          ⎩− λ₁− 3λ₃ = 0.

⎪⎩− λ1− 3λ3 = 0,
Решение этой системы имеет вид λ1 = −3λ3, бодное неизвестное.	λ2 = 2λ3 , где λ3 − сво-

Придавая λ₃ различные значения, не равные нулю, получаем различные ненулевые решения уравнения (2.12). Следовательно, сис-

тема a₁,a₂,a₃ линейно зависима. Найдем одну из зависимостей между данными векторами. Полагая λ₃ =1, получаем λ₁ = −3, λ₂ = 2 и соот-

ношение (2.12) примет вид − 3a₁ + 2a₂ + a₃ = 0.

          Приведем основные свойства линейной зависимости.

1.  Если система векторов (2.9) содержит нулевой вектор, то она линейно зависима.

2.  Если часть системы (2.9) линейно зависима, то и вся система линейно зависима.

Пример 2.11. Система векторов a₁ = (1, 2,1,1), a₂ = (2, 4, 2, 2),

a₃ = (0,1,1,0) линейна зависима, так как содержит два коллинеарных

вектора a₁ и a₂ .

Система векторов 

b1 = (b11,b12,K,b1r ,K,b1n ), b₂ = (0, b₂₂,K,b_2r ,K,b_2n ),

                                                                                                                                                                  (2.12)

........................................

b_r = (0,  0,K, b_rr ,K,b_rn ),

где числа  b₁₁, b₂₂,..., b_rr отличны от нуля, называется диагональ-

ной или ступенчатой.  

3.  Диагональная система векторов линейно независима.

Пример 2.12. Примером диагональной системы векторов служит система  n единичных  n-мерных векторов

e₁ = (1, 0,K, 0)

e₂ = (0,1,K, 0)

 . .....................

e_n = (0, 0,K,1)

По свойству 3 эта система линейно независима.

4.  Любой вектор a∈Rⁿ может быть представлен единственным образом в виде линейной комбинации единичных векторов.

Пример 2.13. Дан вектор a = (3,1,−2,5).

По свойству 4 его можно представить единственным образом в виде линейной комбинации единичных векторов с коэффициентами,

равными координатам вектора  a,  т.е.  a = 3e₁ + e₂ − 2e₃ + 5e₄ .

5.  В пространстве Rⁿ любая система, состоящая более чем из n векторов, линейно зависима.

Пример 2.14. Система векторов из R² a₁ = (2,1), a₂ = (3, 2),

a₃ = (2, 4) линейна зависима, так как число векторов превосходит 2.

2.8.  Ранг и базис системы векторов. Разложение вектора по     данному базису

[1],  2.2; к. р. № 1 (В – «α», задание № 2).

2.9.  Ранг матрицы 

[1],  3.8. 

2.10.  Операции над матрицами и их свойства

[1],  3.2. 

2.11.  Обратная матрица и ее вычисление [1],  3.7; к. р. № 1 (В – «α», задание № 3).

2.12.  Выпуклые множества. Системы линейных неравенств и n неизвестными

[1],  5.4, 5.5; к. р. № 1 (В – «α», задание № 4).

3. Математический анализ

3.1. Функции одной переменной

[1],  7.1. 

3.2. Теория пределов

[1],  6.2., 6.3, 7.1; к. р. № 1 (В – «α», задание № 5).

3.3. Непрерывность функции 

[1],  7.2, 7.3. 

3.4. Производная

[1],  8.1 – 8.7; к. р. № 1 (В – «α», задание № 6).

3.5. Дифференциал

[1],  8.8 – 8.10. 

3.6. Исследование функций и построение графиков

[1],  8.11 – 8.13; к. р. № 1 (В – «α», задание № 7 и № 8).

3.7. Функции нескольких переменных

[1],  9.1 – 9.6. К. р. № 2 (В – «α», задания № 1, № 8).

3.8. Неопределенный интеграл

[1],  10.1; 10.2.; [8].  К. р. № 2 (В – «α», задание № 2).

3.9. Определенный интеграл

[1],  10.3; 10.5 – 10.8; 1.010. [8].  К. р. № 2 (В – «α», задания № 3,  № 4).

Несобственные интегралы с бесконечными пределами

Рассмотрим обобщение понятие определенного интеграла

b

∫ f ( )x dx на случай, когда область интегрирования является бесконеч-

a  ным промежутком.

Пусть функция f ( )x непрерывна на [a,+∞), тогда по определению

                                       f ( )x dx.                      (3.1)

b→+∞ a             a

Если существует конечный предел в правой части формулы (3.1), то несобственный интеграл называется сходящимся, если же этот предел не существует или равен бесконечности, то – расходящимся.

Аналогично определяется несобственный интеграл с бесконечным нижним пределом

b  b

∫ f ( )x dx = alim→−∞∫ f ( )x dx .

                                                           −∞                                 a

Несобственный интеграл с двумя бесконечными пределами определяется равенством

                                         +∞                                 c                                   b

∫ f ( )x dx = alim→−∞∫ f ( )x dx + blim→+∞∫ f ( )x dx,

                                         −∞                                 a                                    c

где с – любое действительное число.

Пример 3.1. Установить, при каких α несобственный интеграл +∞ dx

∫ α сходится или расходится.

1 x

Решение. Если α = 1, то

                                    +∞ dx                     b dxb

                                   ∫1 x = blim→+∞∫1 x = blim→+∞lnx1 = blim→+∞lnb = +∞.

Если α ≠1, то 

+∞  b     1−α b   1 ( 1−α             ) ⎧⎪+ ∞,      если   á<1, dx       −α          x

∫1 xα = blim→+∞∫1 x dx = blim→+∞1− α 1 = blim→+∞1− α b     −1 = ⎨⎪⎩α1−1,    если   á>1.

 +∞ dx

Следовательно, несобственный интеграл ∫ α сходится при α >1 и

1 x

расходится при α ≤1.

3.10. Дифференциальные уравнения

[1],  11.1 – 11.3. К. р. № 2 (В – «α», задание № 5).

3.11. Ряды

[1], 12.1 – 12.3. К. р. № 2 (В – «α», задания № 6, № 7).

Числовые ряды

Числовым рядом  называется выражение                                aa_n ,                          (3.2)

n=1

где { }a_n −последовательность чисел. Каждое  слагаемое называется членом ряда, a_n −n-м или общим членом. Сумма конечного числа n первых членов ряда называется его n-й частичной суммой:

S_n = a₁ + a₂ +K+ a_n .

Ряд (3.2) называется  сходящимся, если последовательность { }S_n его частичных сумм сходится к числу S, которое называется  суммой ряда, т.е.  lim S_n = S . Если этот предел не существует или равен беско-

n→∞

нечности, то ряд называется  расходящимся. 

Ряд  a + aq + aq² +...+ aqⁿ, составлен-

n=1

ный из членов геометрической прогрессии со знаменателем  q , называется геометрическим рядом; он сходится тогда и только тогда, когда  a

q <1 и его сумма равна S =   .

1− q

Необходимый признак сходимости ряда: если ряд (3.2) сходится, то его общий член стремится к нулю при  n → ∞, т.е. lim a_n = 0. 

n→∞

Если общий член ряда не стремится к нулю при  n → ∞, т.е.

lim a_n ≠ 0, то ряд расходится. n→∞

                                                                                                                                ^∞       2n

                Пример 3.2.  Исследовать сходимость ряда  ∑ .

n₌₁ 5n +1

                                                                                                    2n       2

                Решение.  Так как  lim a_n = lim            =  ≠ 0, то данный ряд рас-

                                                                  n→∞           n→^∞ 5n + 3    5

ходится.

Рассмотрим ряды с положительными членами: 

                                  aa_n ,                                   (3.3)

n=1

∞

                                      b₁ + b₂ +...+ b_n +...= ∑b_n                                 (3.4)

n=1

 Первый признак сравнения: пусть выполняется неравенство  a_n ≤ b_n (для всех  n  или с некоторого номера  n = N), тогда, если сходится ряд (3.4), то и сходится ряд (3.3); если расходится