Исследование функций с помощью производных. Условия возрастания и убывания функции

Страницы работы

12 страниц (Word-файл)

Фрагмент текста работы

Условия возрастания и убывания функции

Понятие экстремума

Необходимое условие экстремума

Первое достаточное условие экстремума

Схема исследования функции на экстремум

Второе  достаточное условие экстремума Наибольшее и наименьшее значение функции,

непрерывной на отрезке

Выпуклость функции. Точки перегиба

Схема исследования функции на выпуклость

Асимптоты графика функции

Исследование функций и построение их графиков

Приложение. Эластичность функции

Условия возрастания и убывания функции

Изучим условия возрастания (не убывания) и убывания (не возрастания) функций. Напомним, что функция  y = f ( )x называется возрастающей на промежутке, если большему значению аргумента из этого промежутка соответствует большее значение функции, т.е. из неравенства x 2 > x1 следует неравенство f (x2 ) > f (x1). Функция называется убывающей на промежутке, если из  x 2 > x1 следует f (x2 ) < f (x1).

Функция  y = f ( )x называется неубывающей на промежутке, если из неравенства x 2 > x1 следует неравенство f (x2 ) ≥ f (x1), и невозрастающей, если из условия x 2 > x1 следует f (x2 ) ≤ f (x1).

(условия возрастания (убывания) монотонной функции). Если    f (x) > 0 на промежутке X , то функция y = f (x) возрастает на этом промежутке, если       f (x)< 0 на промежутке X , то функция y = f (x) убывает на этом промежутке.

◄Для функции y = f ( )x выполняются условия теоремы Лагранжа на отрезке [x1;x2 ]X , поэтому существует точка x0 ∈(x1; x2 ), в которой f (x2 ) − f (x1) = f′(x0 )⋅(x2 x1). Анализируем это равенство: если f (x0 ) > 0, то из неравенства x2 > x1 следует неравенство f (x2 ) > f (x1) и обратно. Если же f (x0 )< 0, то из  x2 > x1 следует неравенство f (x2 ) < f (x1).►

Замечание 1. Обратное утверждение звучит несколько иначе. Если функция возрастает на промежутке, то f (x0 )≥ 0 или не существует.

ПРИМЕР 1. Функция y = x3 возрастает на всей числовой оси, соответственно f (x) > 0, но в точке x = 0 производная  f (0) = 0.

⎧2x,   x ≥ 0,

             ПРИМЕР 2. Функция y = ⎨  не имеет производной в

x, x < 0

точке х=0 (левая и правая производная различны), однако она возрастает при всех значениях х, в том  числе и в  точке х=0.

Замечание 2. Опираясь на более «мягкие» условия, можно сформулировать прямую  теорему: если производная функции, непрерывной на промежутке, неотрицательна, то функция на этом промежутке не убывает. Тогда прямая и обратная теоремы на формализованном языке звучат так:

для того, чтобы непрерывная на промежутке функция y = f (x) была неубывающей, необходимо и достаточно, чтобы

f (x0 )≥ 0.

Понятие экстремума

Определение. Точка x0 называется точкой локального максимума функции f(x), если существует такая окрестность точки x0 , что для всех х из этой окрестности f (x) ≤ f (x0 ).

Определение. Точка x0 называется точкой локального минимума функции f(x), если существует такая окрестность точки x0 , что для всех х из этой окрестности f (x) ≥ f (x0 ).

Значение функции в точке максимума называется локальным максимумом, значение функции в точке минимума - локальным минимумом данной функции. Максимум и минимум функции называются ее локальными экстремумами (extremum – крайний).

Определение. Точка x0 называется точкой строгого локального максимума (минимума) функции y = f ( )x , если для всех х  из окрестности точки x 0 верно строгое неравенство f (x) < f (x0 ) (соответственно f (x) > f (x0 )).

Замечание. В приведенном определении локального экстремума мы не предполагаем непрерывности функции  в точке x0 .

x2,  x ≠ 0,

             ПРИМЕР. Функция  y = ⎨    разрывна в точке х=0, но

⎩1,    x = 0

имеет в этой точке максимум, поскольку существует окрестность точки х=0, в которой f (x) < f (x0 ).

Наибольшее (наименьшее) значение функции на промежутке называется глобальным экстремумом. Глобальный экстремум может достигаться либо в точках локального экстремума, либо на концах отрезка.

Необходимое условие экстремума

  (о необходимом условии экстремума).

Если функция  y = f (x) имеет экстремум в точке x0 , то ее производная f (x0 ) либо равна нулю, либо не существует.

◄Если в точке x0 функция имеет экстремум и дифференцируема, то в y некоторой окрестности этой точки y = f ( x)

выполнены    условия теоремы Ферма, следовательно, производная функции в этой

точке равна нулю.                                                          x

Но функция y = f ( )x может иметь x1 x2 x3 x4 x5 экстремум и не быть

Похожие материалы

Информация о работе

Тип:
Конспекты лекций
Размер файла:
379 Kb
Скачали:
0