Математика \ Высшая математика

Линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка. Задачи Коши

Страницы работы

7 страниц (Word-файл)
Скачать файл

Фрагмент текста работы

Теория линейных уравнений является  наиболее простой и разработанной областью дифференциальных уравнений. Именно эти уравнения чаще всего используются в реальных прикладных задачах. 

1. Задачи Коши.  Общее решение    ЛДУ 2-го порядка

 Краткие сведения теории  ЛДУ  2-го порядка

Определение1

Дифференциальное уравнение вида

′ + B(x)y′ + C(x)y = f (x),            (1)                  

B(x),C(x), f (x) − функции, заданные в области      D ⊂ R, называется линейным  уравнением второго порядка.

A(x)y′

где A(x) ≠ 0,

некоторой дифференциальным

Если A ≠ 0,B,C −константы, то ДУ (1) называется

уравнением с постоянными коэффициентами;  если f (x) ≡ 0, то линейным однородным;  если f (x) ≠ 0, то линейным неоднородным. 

Задача

Коши

: Для заданных начальных условий где x0 ∈ X ⊂ D, X − промежуток  функций A(x) ≠ 0, B(x), C(x), f (x), а

произвольные числа, требуется найти такое

(x) уравнения (1), чтобы    y0 =ϕ(x0),     y0′ =ϕ′ (x0).

′

(x0, y0, y0 ), непрерывности y0, y0′ −

решение y =ϕ

Определение 2.

Общим решением уравнения (1) семейство функций y =ϕ (x,C1,C2),  дифференцируемое по x при

: 

называется   дважды непрерывно

x∈(a,b), которое

1)  является решением уравнения (1) для любых

C1,C2 из некоторой области G;

2)  обеспечивает решение задачи Коши для любых начальных условий (x0 ∈ X, y0, y0′ ) при некоторых C10 ,C20 ∈G.

Свойства решений линейных однородных уравнений.

Теорема 1.

Если y = y1(x) − решение уравнения (1), то

= C y1(x), где C −любое постоянное число,  решением уравнения (1).

Если                y = y1(x) и y = y2(x) −два решения

(1), то и y = C1y1(x) +C2 y2(x), где C1,C2 −  числа, тоже решение уравнения (1).

Теорема

функция y также будет  2.

уравнения произвольные

Док-во—непосредственная подстановка в ДУ !

ЦЕЛЬ—установить вид общего решения ЛДУ-2

Трудность  в обеспечении условия 2)  в Опр.2 ! 

Эти условия гарантирует    свойство линейной независимости

Определение1. Два решения y1(x) и y2(x) уравнения (1) называются  линейно зависимыми на интервале (a,b), если существуют числа α1,α2, не равные одновременно нулю, такие что α1y1(x) +α2 y2(x) ≡ 0 для всех x∈(a,b). В противном случае, функции называются линейно независимыми.  

Замечание. Две        функции       являются линейно независимыми, если их отношение не равно тождественной постоянной: y1(x) ≠ const.  y2(x)

Как проверить ЛНЗ ?

Важную роль играет определитель Вронского.

Пусть y1(x), y2(x)—две дифференцируемые функции. y1(x)   y2(x)

Тогда определитель вида    W(x) = det

y1′(x)   y2′ (x)

называют определителем Вронского (аналогично n > 2

Пример.  Функции   x,sin x,cos x—ЛНЗ ?

x   sinx     cosxx   sinx     cosx

W(x) =1   cosx    -sinx       = 1   cosx    -sinx=   

0   -sinx   -cosxx     0            0

= −x(sin2 x + cos2 x) = −x ≠ 0 ∀x∈(a,b),a ≠ b⇒ЛНЗ  !

Упр*.  Функции  1,x2,x3—ЛНЗ ?

Какая связь Вронскиана и ЛНЗ ?

Теорема 3.

Если дифференцируемые на(a,b) функции x) линейно зависимы (ЛЗ), то   W(x) ≡ 0    ∀x∈(a,b)

y1(x) и y2(

Следствие

(достаточное

условие

ЛНЗ).

Если функции

(a,b)

W(x0) ≠ 0 хотя бы в одной точке из (a,b), то  y1(x) и y2(x) линейно независимы (ЛНЗ) на  

Какое отношение к ДУ ?

Теорема 4. Для того, чтобы два частных решения  y1(x) и y2(x) ДУ (1) были линейно независимы

(ЛНЗ) на   (a,b)   ⇔   W(x) ≠ 0 хотя бы в одной точке    x∈(a,b)

Понятие линейной независимости функций позволяет  описать множество всех решений ЛДУ.

Теорема 5 (структура общего решения). 

1)  Всякое ЛДУ (1) имеет ровно два линейно независимых решения.

2)  Если решения y1(x) и y2(x) уравнения (1) линейно   независимы,        то    решение y = C1y1(x) + C2 y2(x), где C1,C2 произвольные

постоянные, является общим решением.

Как построить два ЛНЗ решения для ДУ?

Мы найдем для частных случаев ЛДУ

Рассмотрим    ЛДУ       вида     y′′ + py′ + qy = 0,     (2)                 где p и q −постоянные числа.

Будем искать решение в виде (Эйлер) 

y(x) = eλx

Подставим в ДУ (2):  ⇒ y′(x) = λeλx, y′′(x) = λ2eλx ⇒

⇒ y′′+ py′+ q = (λ2 + pλ + q)⋅eλx = 0 ⇒ ⎯e⎯λx≠⎯0→   

Имеем, что        λ2 + pλ + q = 0,                   (3) которое называется характеристическим уравнением

(Очевидным образом составляется по коэффициентам  Для квадратного уравнения  (3) возможны случаи:

1. Если D = p2 − 4q > 0,  т.е. если  (3) имеет два различных действительных корня λ1 и λ2, то ДУ (2) имеет общее решение вида

y = C1eλ1x +C2eλ2x;

Док-во. Покажем, что y1(x) = eλ1x и y2(x) = eλ2x ЛНЗ ?

Вронскиан:

                                         eλ1x        eλ2xλ1x            λ2x1        1

W(x) == e                                            ⋅e=

λ1eλ1x   λ2eλ2xλ1    λ2

= e(λ1+λ2)x(λ2 −λ1) ≠ 0    ∀x∈ R ⇒ ЛНЗ

Пример1.

Найти  общее решение  для y′′ − 5y′ + 6y = 0 . Решение. Характеристическое уравнение имеет вид:λ2 − λ5 + 6 = 0,  D = 25 − 24 +1 > 0.   

Значит, . 

Общее решение имеет вид: y = C1e2x + C2e3x.

2. Если D = p2 − 4q = 0,  т.е. если (3) имеет два равных

− p

действительных корня λ1 = λ2=λ = , то ДУ (2)

2

имеет общее решение 

y = (C1 +C2x)⋅eλx

;     

λ x

Док-во.  Ясно, что y1(x) = e            есть частное решение. 

Где взять еще одно частное решение?

λ x

Выберем в виде y(x) = x⋅e .  Тогда y′(x) = eλx + λxeλx, y′′(x) = 2λeλx + λ2xeλx ⇒         

y′′+ py′+ q = xeλx(λ2 + pλ + q) + eλx(2λ + p) = 0 ⇒                

λ x

Действительно, y(x) = x⋅e —решение ДУ. Проверим ЛНЗ: Вронскиан:

eλx             x eλxλx1            x

W(x) == e=

λeλx     xλeλx + eλx λ      xλ +1

= eλx(xλ +1−λx) = eλx ≠ 0    ∀x∈ R ⇒ ЛНЗ

Пример2.

Общее решение ДУ  y′′ −10y′ + 25y = 0.

Характеристическое уравнение: λ2 −10λ + 25 = 0, D =100 −100 = 0, значит, λ1 = λ2=5. 

Тогда       y = (C1 + C2x)e5x— общее решение.

3. Если D = p2 − 4q < 0,  т.е. если (3) имеет два комплексно-сопряженных   корня

Похожие материалы

Информация о работе

ВУЗ:
Белорусский государственный экономический университет (БГЭУ)
Предмет:
Высшая математика
Тип:
Конспекты лекций
Категория:
Математика (Естествознание)
Размер файла:
280 Kb
Скачали:
0
Скачать файл