Случайной называют величину, которая в результате испытания примет одно и только одно из возможных значений, наперед неизвестное и зависящее от случайных причин, которые заранее нельзя учесть.
Случайные величины (СВ) обозначают буквами Х, У, Z, а их возможные значения – х, у, z…..
|
Дискретной |
называют случайную величину, которая отдельные, изолированные друг от друга определенными вероятностями. |
|
|
принимает значения с |
Число возможных значений дискретной случайной величины может быть конечным или бесконечным, но счетным.
Как охарактеризовать СВ?
Дискретная случайная величина может быть задана рядом распределения – это соответствие между возможными значениями и их вероятностями:
|
Х |
x1 |
x2 |
… |
xn |
|
|
Р |
p1 |
p2 |
… |
pn |
|
pi = P(X = xi ), i =1,n.
События X = x1, X = x2,K, Xn = xn образуют полную группу, следовательно, сумма вероятностей этих событий равна единице: p1 + p2 + p3 +Kpn =1.
Дискретная случайная величина может быть задана функцией распределения.
|
случайной величины Х выражающая для каждого х случайная величина Х примет ( )x = P(X < x) |
|||
|
называется функция F( )x , вероятность того, что значение меньшее х: F |
Если значения случайной величины – точки на числовой оси, то геометрически функция распределения интерпретируется как вероятность того, что случайная величина Х попадает левее заданной точки х:
Х < x
0 х х
F (x) обладает свойствами:
1. Функция распределения случайной величины есть неотрицательная функция, заключенная между нулем и единицей: 0 ≤ F( )x ≤1.
2. Функция распределения есть неубывающая функция на всей числовой оси.
3. На минус бесконечности функция распределения равна нулю, на плюс бесконечности равна 1, т.е.
|
F(−∞)= lim F( )x = 0, F(+ ∞)= x→−∞ |
lim F( )x =1 x→+∞ |
.
4. Вероятность попадания случайной величины в интервал [x1,x2) (включая x1) равна приращению ее функции распределения на этом интервале, т.е. P(x1 ≤ X < x2)= F(x2)− F( )x1 .
Числовые характеристики случайной величины
Пусть случайная величина Х может принимать только значения x1,x2,K,xn, вероятности которых соответственно равны p1, p2,K, pn.
Тогда математическое ожидание М (Х) случайной величины Х определяется равенством
|
n M( )X = x1p1 + x2 p2 +K+ xn pn = ∑xi pi i=1 |
.
Из определения следует, что математическое ожидание дискретной случайной величины есть неслучайная (постоянная) величина.
Свойства математического ожидания
1. Математическое ожидание постоянной величины равно самой постоянной: M( )C = C .
2. Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания: M(CX)= CM(X).
3. Математическое ожидание алгебраической суммы конечного числа случайных величин равно алгебраической сумме их математических ожиданий:
M(X ± Y) = M( )X ± M(Y).
4. Математическое ожидание произведения конечного числа независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий: M(XY)= M( )X M(Y).
5. Математическое ожидание отклонения случайной величины от ее математического ожидания равно нулю: M(X − M( )X ) = 0.
На практике часто требуется оценить рассеяние возможных значений случайной величины вокруг ее среднего значения.
|
D(X) случайной величины Х называется ожидание квадрата ее отклонения |
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.
