Разложение обратных тригонометрических функций в степенные ряды. Интегрирование степенных рядов

Разложить в ряд Маклорена  функцию

y = arcsin x

Применим    интегрирование степенных рядов.

1

Рассмотрим функцию  f (x) =;    

1− x²

− Представим f (х) в виде f ( )x = (1+ (− x² )) и воспользуемся известным разложением бинома

(1+t)m =1+ mt + m(m−1)t 2 + m(m −1)(m− 2)t3 +K+

1!           2!                        3!

m(m −1)(m− 2)K(m −n +1) ⁿ

+ t   +K,−1< t <1

n!

Полагая теперь m = −, t =−x², получим

⎛    1⎞             ⎛    1⎞⎛    3⎞

⎜− ⎟             ⎜− ⎟⎜−  ⎟

f ( )x =1+ ⎝   2⎠(−x2 )+ ⎝     2⎠⎝   2⎠ (− x2 )2 +

1!                         2!

⎛ 1⎞⎛ 3⎞⎛ 5⎞( 2 )3 ⎛ 1⎞⎛ 3⎞⎛ 5⎞ ⎛1 ⎞ ⎜− ⎟⎜− ⎟⎜− ⎟ − x ⎜− ⎟⎜− ⎟⎜− ⎟K⎜  − n +1⎟

⎝     2⎠⎝    2⎠⎝    2⎠                   ⎝    2⎠⎝    2⎠⎝    2⎠     ⎝2            ⎠( 2 )ⁿ

+..+   − x 3!     n!

или, произведя упрощения, получаем

 

 

Разложить в ряд Маклорена  функцию	y = arctgx

Можно разложить, вычисляя коэффициенты Тейлора.

Применим  интегрирование степенных рядов.

Рассмотрим геометрическую прогрессию  (в которой вместо x возьмем -x²)   1− x² + x⁴ − x⁶ +...+... = ¹  при (| x |<1)

2

1+ x

Интегрируем этот ряд

dx.     Отсюда 2

0        ₀ 1+ x x , 

Ряд сходится при −1≤ x ≤1   !

x3 x5 (−1)n−1 x2n−1 arctgx = x − + +...+  +... 5  2n −1

            (*)

Задача

:   вычислить число π с точностью …….

При x =1 из (*) имеем еще один способ вычисления числа π :

Задача

:   вычислить число  e   с точностью  0,0001

(−1)n−1

arctg1=    =1−              +...+ +...

2n −1

2                   n

Из формулы   e^x =1+ x + ^x   +...+ ^x +...    при x =1

2!            n!

получаем  (знакоположительный)   ряд

1           1 e = 2+ +...+    + Rn 2!          n!

Так как  , то

1           1                 1     1      1

e = 2+ +...+ +...< 2+   +     +     +... = 2+    = 2+1= 3

                         2!          n!                2    2²       2³                      1− 1

2

или   2 < e < 3. 

Тогда при x =1 остаточный член в форме Лагранжа

e¹               3

удовлетворяет неравенству   | R_n(x) |≤ < (n +1)! (n +1)! Найдем требуемое  n из условия R_n < 0,0001  или

< 0,0001. Отсюда n ).

Итак                  e

1 Вычислить приближенно  с точностью до 4 e

 0,0001      .

1        −

Поскольку = e, то из известного разложения

4 e

_x                       x2       x3                 xn

e                   =1+ x +    +    +K+    +K 2!    3!    n!

при x, получаем

     eK .

Поскольку , то для достижения заданной точности достаточно четырех первых членов разложения:

       

e

Вычислить приближенно 3 9 с точностью до

≈ 0,77865 ≈ 0,7787

 0,001      .

1

³ 9 = 2⋅3 ⁹ = 2⋅3 1+ ¹ = 2_⎜^⎛1+ ^1⎞_⎟ ³   Здесь  m = ¹,x = ¹

9  = 2⎜1+    ⎟      = 2⋅(1+ ⋅     +    ⋅( −1)( ) ⋅     +... =

⎝     8⎠                  3 8     3    3        8      2!        

Задача

:   вычислить число  cos50   с точностью  0,0001

  

a то         cos⁵⁰ ≈ a₁ − a₂ ≈1−0,0038 = 0,9962

Задача

2ex − 2− 2x − x2 :   Найти lim  x→0           x −sin x

x2       x3       x4                                 ₂

=lim= x→0

x −(x − + +..) 3! 5!

2x³       x⁴                           2     x

+     +....               +    +....

= lim 3! 4!    = lim 3! 4!    = 2 x→0 x³   x⁵      x→0 1       x² − +...  −   +...

3!     5!                    3!    5!

Задача

1 sin x :Вычислить   с точностью до 0,0001     ∫   dx;   0       x

sin x

Неопределенный интеграл        ∫               dx относится к

x

sin x

«неберущимся» интегралам. Разложим       в ряд  x

sin x     1 ⎛      x³       x⁵       x⁷            ⎞         x²       x⁴       x⁶

x      = x ⎜⎜⎝x − 3! + 5! − 7! +K⎟⎟⎠ =1− 3! + 4! − 6! +K 

1 sin x          1⎛      x2       x4       x6           ⎞

0∫ dx = ⁰∫⎜⎜⎝1− 3! + 4! − 6! +K⎟⎟⎠dx = x

1

⎡+K =

⎢x −

⎣

.

В правой части ряд Лейбница, поэтому его остаток не превосходит по абсолютной величине  первого отбрасываемого члена. Так , то для вычисления интеграла с требуемой точностью 0,0001 достаточно взять три первых члена разложения:

¹ sin x               1       1

                                                        ∫ dx =1−     +       ≈ 0,9461.

0     x                 18    600

Задача

:

Вычислить xdx с точностью до 0,001 0

2         3                          n n

  e^−x =1− x + ^x − ^x +...+ ^{(−1) x} +... .

2!     3!                n!

Интегрируя его почленно, получим:   

x           0,5                    x2       x3               (−1)n xn

                     dx= ∫  (1− x +     −     +...+  +...)dx =

0                      2!     3!                n!

x x x x (−1)ⁿ x^n+10,5 = (x − + − + ..+ +...₀ =

!       (n +1)n!

(0,5)²       (0,5)³      (0,5)⁴               (−1)ⁿ0,5ⁿ⁺¹

= 0,5− + − +...+  +....     . 2! 3⋅2! 4⋅3! (n +1)n!

По признаку Лейбница остаток сходящегося знакочередующегося ряда не превосходит по абсолютной величине абсолютной величины первого отбрасываемого члена, поэтому

x

dx    0                                             

0,5−1,125+ 0,0208−0,0026 =0,0182 ≈ 0,018.

Заданная точность обеспечена, так как первый отброшенный член     удовлетворяет требуемому неравенству

.

Решение будем искать в виде степенного ряда y(x) = a₀ + a₁ ⋅ x + a₂ ⋅ x² +......           (Р)

Из начальных условий при x = 0 можно определить коэффициенты  a₀ = 0,a₁ =1. 

(В противном случае они служат произвольными постоянными общего решения ДУ).

Дважды дифференцируя ряд (Р) и подставляя в ДУ, имеем   (учтем