Алгебра формальных степенных рядов. Пространство формальных рядов Лорана, страница 4

так как

Таким образом,

В случае финитной регулярной формальной обобщенной функции можно получить такую связь между ее преобразованием Лапласа и двухсторонним преобразованием Лапласа функции f.

Теорема 4.4. Пусть - финитная регулярная формальная обобщенная функция, т.е. измерима, обращается в нуль вне некоторого отрезка , и для всех . Рассмотрим классическое двухстороннее преобразование Лапласа функции и преобразование Лапласа регулярной формальной обобщенной функции , где . Тогда радиус сходимости степенного ряда равен бесконечности, - целая функция и для всех .

Доказательство.

Запишем классическое преобразование Лапласа функции в следующей форме:

Изменение порядка интегрирования и суммирования законно, так как ,

и возможно применение теоремы Фубини. Таким образом,

и полученный степенной ряд сходится для всех . Кроме того,

, .

Теорема доказана.

Следующая теорема обобщает ситуацию, рассмотренную в примере 4.3.

Теорема 4.5. Пусть - регулярная формальная обобщенная функция, причем , если и для которого . Тогда радиус сходимости степенного ряда не меньше , функция голоморфна в круге и для всех .

Доказательство.

Так как , то

Изменение порядка интегрирования и суммирования законно, т.к.

, если . Таким образом,

и полученный степенной ряд сходится для всех .

Теорема доказана.

Замечание. Отметим, что для функции f из теоремы 4.5 ее одностороннее и двухстороннее преобразование Лапласа совпадают.

Рассмотрим еще один пример.

Пример 4.6. Пусть Найдем 3 вида преобразования Лапласа функции .

1. Классическое двухстороннее преобразование Лапласа функции имеет вид:

2. Преобразование Лапласа функции как регулярной формальной обобщенной функции:

3. Преобразование Лапласа функции как формального степенного ряда:

Так как

то

Мы видим, что для всех , но существенно отличается от классического двухстороннего преобразования Лапласа и связано с классическим односторонним преобразованием Лапласа (см. §2).

Теперь получим следующее обобщение примера 4.6.

Теорема 4.7. Пусть f– регулярная формальная обобщенная функция, причем для некоторого . Тогда степенной ряд сходится при и , , где - двухстороннее преобразование Лапласа функции f.