Количественная сторона обслуживания потоков сообщений в системах распределения информации

Министерство информационных технологий и связи РФ

                                  СибГУТИ

Кафедра АЭС

                            Курсовая работа

                       по теории телетрафика

                                                                                   Выполнил: ст-ка гр А-24

                                                                                   Данилова Надежда

                                                                                   Проверил:

Вариант№5

                                          Новосибирск 2005

                                          Содержание.

Введение                                                                                              2                  

Задача №1                                                                                           3        

Задача №2                                                                                          7

Задача №3                                                                                          8

Задача №4                                                                                          10

Задача №5                                                                                          11

Задача №6                                                                                          13

Задача №7                                                                                           16

Задача №8                                                                                           18

Задача №9                                                                                          24

Заключение                                                                                          26

Список литературы                                                                         27                        

                    Введение

В повседневной жизни приходиться постоянно сталкиваться обслуживанием, т.е. удовлетворением некоторых потребностей, и очень часто с очередями, когда обслуживание является массовым. Естественно, что во всех случаях большое значение имеет степень удовлетворения потребности в обслуживании, или качество обслуживания. Так, при осуществлении телефонной связи важно знать, как долго придется ожидать соединения с требуемым абонентом после заказа междугороднего разговора при ручном способе установления соединений или сколько в среднем попыток необходимо сделать для установления соединения при автоматическом способе.

В теории массового обслуживания все рассматриваемые объекты объединяются под общим названием «системы массового обслуживания». Одним из классов массового обслуживания являются системы распределения информации (системы телетрафика). Системой распределения информации могут быть совокупность коммутационных приборов, часть или весь коммутационный узел либо сеть связи, которые обслуживают по определенному алгоритму телефонные, телеграфные и другие сообщения.

Предметом теории телетрафика является количественная сторона обслуживания потоков сообщений в системах  распределения информации.

Данная курсовая работа содержит 9 задач. Целью курсовой работы является усвоение и закрепление основных положений и принципов теории телетрафика.

                                     Задача №1

На коммутационную систему поступает поток вызовов, создающий нагрузку Y=2.4 Эрл. Определить вероятность поступления ровно i  вызовов, P_i, если i=0,1,…N (N=6) при примитивном потоке от N источников и при простейшем потоке вызовов. Построить кривые распределения вероятностей P_i=f(i) и произвести сравнение полученных результатов.

Дано:

Y=2,1 Эрл

i=0,1,…,N

N=6

а) N< 100

б) N>100

Найти:

P_i, P_i=f(i)

Решение:

а) Для простейшего потока вызовов

Вероятностный процесс поступления вызовов простейшего потока описывается формулой (распределением ) Пуассона:

P_i(t)= Yⁱ*e ^–Y , при t=1

i!

Расчет распределения Пуассона произведем в следующей последовательности:

Определим вероятность отсутствия вызовов i=0

P₀= Y⁰ *e^-2,1=2,1⁰*e^-2,1=0,122

0!           1

Остальные P_i  вычислим по 1-ой реккурентной формуле

P_i+1=   Y*P_i     

(i+1)

i=0     P₁=(2,1/1)*0,122=0,257

i=1     P₂=(2,1/2)*0,257=0,270

i=2     P₃=(2,1/3)*0,270=0,189

i=3     P₄=(2,1/4)*0,189=0,099

i=4     P₅=(2,1/5)*0,099=0,042

i=5     P₆=(2,1/6)*0,042=0,015

Проверим правильность вычислений с помощью свойства распределения:

∞   

∑ P_k=1

ⁱ⁼⁰

 ₆

Для данного случая:  ∑P_i=0,122+0,270+0,189+0,099+0,042+0,015=0,994

ⁱ⁼⁰

Полученный результат суммы вероятностей приблизительно равен 1, следовательно, вычисления произведены верно.

б) Для примитивного потока вызовов

Вероятностный процесс поступления вызовов промитивного потока описывается формулой Бернулли:

_i

P_i=C_N*aⁱ*(1-a)^N-i

Где    а =Y   - вероятность, поступающая от одного источника

N

a=2,1/6=0,35

Определим вероятность отсутствия вызовов

₀

i=0          P₀=C₆* a⁰*(1-a)^N=1*1*(1-0,35)⁶=0,075

Остальные P_i вычислим  по 1-ой реккурентной формуле

P_i+1= P_i*(N-i)*a    

(i+1)*(1-a)

i=0    P₁=0,35*(6-0)*0,075/(1*0,65)=0,242

i=1    P₂=0,35*(6-1)*0,242/(2*0,65)=0,326

i=2    P₃=0,35*(6-2)*0,326/(3*0,65)=0,234

i=3    P₄=0,35*(6-3)*0,234/(4*0,65)=0,095

i=4    P₅=0,35*(6-4)*0,095/(5*0,65)=0,0205

i=5    P₆=0,35*(6-5)*0,0205/(6*0,65)=0,002

Проверим верность вычислений:

 ₆

∑P_i=0,075+0,242+0,326+0,234+0,095+0,0205+0,002=0,995

ⁱ⁼⁰

Следовательно, вычисления верны.

Вычислим математическое ожидание для простейшего и примитивного потоков вызовов.

Для простейшего потока вызовов:

∞

М[i]=∑(i*P_i)=0*0,122+1*0,257+2*0,270+3*0,189+4*0,099+5*0,042+6*0,015           

ⁱ⁼⁰ 

М[i]=2,06

Для примитивного потока вызовов:

∞

М[i]=∑(i*P_i)=0*0,075+1*0,242+2*0,326+3*0,234+4*0,095+5*0,0205+           

ⁱ⁼⁰ 

+6*0,002=2,091

Вывод для задачи №1:

1) Для примитивного потока      ₆

∑P_i=0,995

                                                                                  ⁱ⁼⁰

₆

Для простейшего потока         ∑P_i=0,994

ⁱ⁼⁰

Следовательно, в области определения P_i  от 0 до ∞ сумма всех P_i  равна 1 и площади под кривыми распределения  S₁= S₂=1 .

2) Из графиков видно, что на интервале (0; 1,125)        P_i (прост.)> P_i (примит.)

на интервале [1,125;3,95]    P_i (прост.)< P_i (примит.)

на интервале (3,95;∞)          P_i (прост.)> P_i (примит.)

3) Интенсивность поступающей нагрузки количественно совпадает с математическим ожиданием (средним числом вызовов, поступающих на единичный интервал времени).

М[i]=2,09≈2,06≈2,1=Y

Можно доказать правдоподобность полученного равенства:

Пусть интенсивность µ, длительность занятия Т и 0≤Т≤Т_max  со средним значением t .

Рассмотрим интервал времени [t₁, t₂) причем (t₂- t₁)>Т_max .

Математическое ожидание числа вызовов поступивших в коммутационную систему за  [t₁, t₂):

۸(t₁, t₂)= µ(t₁, t₂)

часть вызовов оканчивается к моменту t₂ – математическое ожидание ρ, а часть нагрузки создают вызовы поступившие до момента t₁ и к t₁ не окончились  - математическое ожидание ε и математическое ожидание числа вызовов, которые начались до t₁ и не окончившиеся после момента t₂  обозначим через ξ.

Так как (t₂- t₁)> Т_max, то ξ=0. Для простейшего потока вызовов ρ= ε.

Математическое  ожидание нагрузки за [t₁, t₂):

Y(t₁, t₂)=[ µ*(t₂- t₁)- ρ+ ε]*t=µ*t*(t₂- t₁),

А интенсивность поступающей  нагрузки

Y=[Y(t₁,t₂)]= µ*t

(t₂- t₁)

µ*t – математическое ожидание числа вызовов поступивших за время t.

Теорема доказана.

Следовательно, в силу этой теоремы я получила равенство

М[i]=2,09≈2,06≈2,1=Y

Задача №2

Пучок ИШК (АТСКУ) обслуживает абонентов 1000линейной группы АИ (10 блоков). Определить поступающую нагрузку на ИШК Y, если N=1000, C=2,4 выз./час, Т=130 с, Р_р=0,55.

Дано:                                          Решение:

N=1000

C=2,4 выз./час                   Y=α* Р_р*N*C*(t_co+1,5*n+ t_м+ t_пв+Т)=

Т=130 с                                 =  α* Р_р*N*C*t   

Р_р=0,55                                            

n=6                                     t_co- время ответа станции;

 t_м- время установления соединения;

Найти:                               n- значность нумерации;

Y-?                                     t_пв- время посылки вызова;

Т- время чистого разговора;

Р_р- доля вызовов, которые завешились                                                                                                                                                                                                                            

разговором;

С- среднее число вызовов от одного источника;

N- общее число источников нагрузки;

t- среднее время обслуживания одного вызова;

α- коэффициент, учитывающий непроизводи-    тельную нагрузку;

t_co=1,5 с

t_м=2,5 с для АТСКУ

t_пв=6 с

α=1,15 для данных Р_р=0,55 и Т=130 с

Итак, подставив исходные значения в вышеуказанную формулу получаем:

Y=1,15*0,55*1000*2,4*(1,5+1,5*6+2,5+6+130)=226182 (с-з)/ч

Для того, чтобы перевести в Эрл необходимо поделить значение Y на 3600 с.

Y=226182/3600= 62,828 Эрл

Вывод к задаче №2:

Таким образом нагрузка от 1000 абонентов составляет 62,828 Эрл.     

Задача №3

Рассчитать величину возникающей на цифровую АТС нагрузки от абонетов