Прохождение случайных сигналов через линейные и нелинейные устройства. Безынерционные устройства

ПРОХОЖДЕНИЕ СЛУЧАЙНЫХ СИГНАЛОВ ЧЕРЕЗ ЛИНЕЙНЫЕ И НЕЛИНЕЙНЫЕ УСТРОЙСТВА

Типовые задачи, связанные с преобразованием случайных процессов радиотехническими устройствами, можно разбить на две группы:

1 Определение числовых характеристик процессов на выходе устройств.

2  Определение функций распределения выходного случайного процесса.

Очевидно, что решение задач первой группы в общем случае может быть получено на основе результатов задач второй группы.

В большинстве случаев элементы радиотехнических устройств необходимо рассматривать как нелинейные инерционные. Однако, анализ прохождения случайных сигналов через радиотехнические устройства при  столь общих предположениях связан со значительными математическими трудностями, так как в этом случае используются нелинейные дифференциальные уравнения со случайными коэффициентами.

С учетом степени сложности анализа преобразования случайных сигналов радиотехнические цепи подразделяются  на нелинейные безынерционные, линейные инерционные, параметрические, нелинейные инерционные. Так, например, амплитудный детектор можно рассматривать как последовательное соединение нелинейного безынерционного элемента (выпрямительного диода) и линейного инерционного в виде нагрузки (селективного  RC фильтра).  Таким  образом, полное  преобразование  сигнала  в  амплитудном детекторе является результатом двух преобразований: нелинейного безынерционного и  линейного инерционного.

1  НЕЛИНЕЙНЫЕ БЕЗЫНЕРЦИОННЫЕ УСТРОЙСТВА.

Нелинейное преобразование называют безынерционным (или функциональным), если значение выходного процесса y(t) (отклик) в любой  момент  времени определяется только значением входного процесса x(t) (воздействие) в тот же момент времени и не зависит от его значений в предшествующие моменты времени. Такое функциональное преобразование имеет место, например, при ограничении, модуляции, преобразовании частоты, детектировании и т. д.

Характеристика нелинейного безынерционного элемента задается в виде функционального соотношения

                                                  (1)

Функция распределения процесса на выходе для таких цепей определяется для заданной плотности распределения воздействия по известному    правилу функционального преобразования случайных величин (процессов).  Числовые характеристики процесса на выходе нелинейных безынерционных устройств можно определить без знания его плотности распределения  W(y) по известным W(x) и функциональной зависимости y=f(x).  Можно показать, что они будут определяться следующими выражениями. Математическое ожидание

                           (2)

Дисперсия

                          (3)

Корреляционная функция

  (4)

Соответственно

                                                                (5)

Таким образом, при воздействии случайного процесса  на нелинейную  систему изменяются спектр процесса, законы распределения вероятностей и все связанные с ними параметры процесса.

2 ЛИНЕЙНЫЕ ИНЕРЦИОННЫЕ УСТРОЙСТВА.

В инерционной системе значение процесса на выходе y(t) зависит не  только от значения процесса x(t), действующего на входе в тот же момент времени, но и от его значений в предшествующие моменты времени. Следовательно, процесс на  выходе линейной инерционной системы будет представлять собой суперпозицию откликов на все воздействия в интервале от  нуля  до  t  включительно. Эта  суперпозиция характеризуется известным интегралом Дюамеля

                                                                    (6)

где  - значение процесса на входе в момент времени τ;

    -  импульсная характеристика системы, т.е. ее отклик на импульсное воздействие в виде δ-функции;

t - момент наблюдения процесса на выходе;

τ - момент начала действия (приложения) процесса на входе.

Для линейных систем с постоянными параметрами импульсная характеристика зависит только от (t-τ), т. е. g(t,τ) = g(t-τ). В этом случае

                                                         (7)

Импульсная характеристика и коэффициент передачи линейной инерционной системы связаны между собой парой преобразований Фурье:

                                                    (8)

Энергетический спектр случайного процесса на выходе линейной инерционной системы определяется выражением