Прохождение случайных сигналов через линейные и нелинейные устройства. Безынерционные устройства, страница 2

                                                         (9)

Пусть, например, белый шум с равномерной спектральной плотностью  воздействует на интегрирующую RC-цепь для которой

                                                                (10)

Тогда

Корреляционная функция на выходе линейной инерционной системы является преобразованием Фурье от энергетического спектра

  (11)

Сложной задачей является определение функции распределения процесса на выходе линейной инерционной системы. Только в частном случае, когда x(t) является гауссовским процессом с нормальным законом распределения вероятностей мгновенных значений, процесс на выходе y(t) также остается гауссовским, но при этом изменяются его числовые характеристики.

Характерной особенностью линейных инерционных систем является свойство "нормализации" процесса на их выходе (при определенных условиях). Оно заключается в том, что распределение процесса на выходе  достаточно хорошо аппроксимируется нормальным законом, независимо от  того, какое распределение имел процесс на  входе. Такое явление возможно лишь при условии, когда длительность переходных процессов линейной инерционной цепи велика по сравнению со скоростью изменения процесса  на  входе. Физически это объясняется тем, что отдельные отклики на выходе, вызванные хаотическими воздействиями входного процесса,  не  успевают затухать (инерционность цепи), накладываются друг на друга и  образуют новый процесс (суперпозиция). А согласно центральной предельной теоремы теории вероятностей закон распределения этого процесса, представляющего собой  сумму большого числа независимых случайных  величин  (откликов), стремится к нормальному.

Длительность переходных процессов  радиотехнической цепи однозначно определяется ее полосой пропускания

В свою очередь скорость изменения процесса на входе цепи будет определяться шириной его энергетического спектра, – чем быстрее изменяется процесс, тем  шире его спектр. Следовательно, явление "нормализации" будет иметь место только на выходе узкополосных линейных инерционных цепей, т.е. таких, у которых полоса пропускания много меньше,   чем ширина энергетического спектра процесса на входе.

В качестве примера рассмотрим прохождение смеси синусоидального колебания  с гауссовским случайным процессом через типовое   радиотехническое устройство: узкополосный усилитель – линейный амплитудный детектор – фильтр нижних частот. Распределение мгновенных значений y(t) на выходе узкополосной системы будет нормальным с математическим ожиданием , а его огибающая  (после  амплитудного детектора) будет иметь обобщенное распределение Релея  (см. рис. 1 кривые б и в).

                           (12)

В отсутствие синусоидального сигнала (a = 0) огибающая узкополосного гауссовского процесса будет иметь простое распределение Релея (см. рис.1  кривая а).

                                                               (13)

3 ЭФФЕКТИВНАЯ ПОЛОСА ПРОПУСКАНИЯ ЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЫ.

При прохождении случайного процесса со спектральной плотностью  через линейную цепь с амплитудно-частотной характеристикой  спектральная плотность средней мощности шума на выходе цепи определяется выражением (9). Мощность (дисперсия) шума, развиваемая на сопротивлении 1 Ом, определяется выражением

                                   (14)

Если на входе линейной системы шум имеет равномерную спектральную плотность , то выражение для мощности шума на выходе удобно представить в виде

                                                  (15)

где К₀ – коэффициент передачи системы на некоторой характерной частоте , обычно , а

 - эффективная полоса пропускания линейной системы (рис. 3).

Введение понятия эффективной полосы пропускания позволяет упростить расчет мощности шумов на выходе линейных систем, так как величина  близка к полосе пропускания цепи  на уровне отсчета 0,707. Так, например, для обычного колебательного контура и однозвенной интегрирующей RC-цепи

,

а в сложных полосовых фильтрах .

Рисунок 1 Распределение огибающей                   узкополосного процесса.

Рисунок 2 Определение эффективной  полосы пропускания