Лекция 11.
Элементы теории устойчивости.
Теория устойчивости решений дифференциальных уравнений является одним из разделов качественной теории дифференциальных уравнений, которая посвящена не нахождению какого – либо решения уравнения, а изучению характера поведения этого решения при изменении начальных условий или аргумента.
Этот метод особенно важен, т.к. позволяет делать вывод о характере решения без непосредственного нахождения этого решения. Т.е. даже в тех случаях, когда решение дифференциального уравнения вообще не может быть найдено аналитически.
Пусть имеется некоторое явление, описанное системой дифференциальных уравнений:
= f t yi ( , 1, y2,..., yn ); (i =1,2,...,n)
(1) dt
и начальные условия: yi (t0) = yi0.
Для конкретного явления начальные условия определяются опытным путем и поэтому неточны.
Теорема. (о непрерывной зависимости решения от начальных условий)
dy
Если правая часть дифференциального уравнения = f
t y( , ) непрерывна
и по dt
переменной у имеет
ограниченную частную производную ( fy′ ≤ N)
на области прямоугольника, ограниченного D
={t0
− a ≤ t ≤ t0
+ a, y0 −b ≤ y ≤ y0
+ b},
то решение
y t( ) = y t t( , 0, y0), удовлетворяющее начальным условиям y t( 0) = y0, непрерывно
зависит от начальных
данных, т.е. для любого ∀ε>0 ∃∆>0
, при котором если y0
− y0
< 0, то
y t t(
, 0, y0) − y
t t y( , 0
0) <ε при условии,
что
t0 −t < T; T < T0, где
1 b
N M |
(t y, )∈D |
Эта теорема справедлива как для одного дифференциального уравнения, так и для системы уравнений.
Определение. Если ϕ( )t ={ϕ1( )t ,ϕ2(t),...,ϕn ( )t } - решение системы дифференциальных уравнений, то это решение называется устойчивым по Ляпунову, если для любого ε> 0 ∃∆>0, такое, что для любого решения y t( ) ={y1( )t , y2(t),..., yn ( )t } той же системы, начальные условия которого удовлетворяют неравенствам
yi
(t0
) −ϕi
(t0)
<∆ i =
(1,n) справедливы неравенства
yi
( )t −ϕi
( )t
<ε ∀t ∈[t0,∞)
(Ляпунов Александр Михайлович (1857 – 1918) академик Петерб. АН)
Т.е. можно сказать, что решение ϕ(t) устойчиво по Ляпунову, если близкие к нему по начальным условиям решения остаются близкими и при t ≥ t0.
Если lim yi ( )t −ϕi
( )t
= 0, i
= (1,n), то решение ϕ(t) называется асимптотически
t→∞
устойчивым.
Исследование на устойчивость по Ляпунову произвольного решения
ϕ( )t ={ϕ1( )t ,ϕ2(t),...,ϕn ( )t }
системы = f t yi ( , 1, y2,..., yn ); (i =1,2,...,n)можно
свести dt
к исследованию на устойчивость равного нулю решения некоторой другой системы, которая получена из данной заменой неизвестных функций:
xi ( )t = yi ( )t −ϕi ( )t , i =1,...,n.
Тогда:
|
|
dx |
i =1,...,n. (2) |
Система (2) имеет тривиальное (равное нулю) решение xi ( )t = 0.
Теорема. Решение ϕ( )t ={ϕ1( )t ,ϕ2(t),...,ϕn ( )t } системы (1) устойчиво по Ляпунову тогда и только тогда, когда
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.