Элементы теории устойчивости. Теория устойчивости решений дифференциальных уравнений

Лекция 11.

Элементы теории устойчивости.

Теория устойчивости решений дифференциальных уравнений является одним из разделов качественной теории дифференциальных уравнений, которая посвящена не нахождению какого – либо решения уравнения, а изучению характера поведения этого решения при изменении начальных условий или аргумента.

Этот метод особенно важен, т.к. позволяет делать вывод о характере решения без непосредственного нахождения этого решения. Т.е. даже в тех случаях, когда решение дифференциального уравнения вообще не может быть найдено аналитически.

Пусть имеется некоторое явление, описанное системой дифференциальных уравнений:

dyⁱ

= f t y_i ( , ₁, y₂,..., y_n );   (i =1,2,...,n)                                  (1) dt

и начальные условия: y_i (t₀) = y_i0.

Для конкретного явления начальные условия определяются опытным путем и поэтому неточны.

            Теорема. (о непрерывной зависимости решения от начальных условий)

dy

Если правая часть дифференциального уравнения               = f t y( , ) непрерывна и по dt

переменной у имеет ограниченную частную производную ( f_y′ ≤ N) на области прямоугольника, ограниченного D ={t₀ − a ≤ t ≤ t₀ + a, y₀ −b ≤ y ≤ y₀ + b}, то решение 

y t( ) = y t t( , ₀, y₀), удовлетворяющее    начальным    условиям     y t( ₀) = y₀,                                        непрерывно

зависит от начальных данных, т.е. для любого ∀ε>0 ∃∆>0 , при котором если y₀ − y₀ < 0, то  y t t( , ₀, y₀) − y t t y( , _{0 0}) <ε при условии, что

                                                                           t₀ −t < T;    T < T₀, где

 Эта теорема справедлива как для одного дифференциального уравнения, так и для системы уравнений.

Определение. Если ϕ( )t ={ϕ₁( )t ,ϕ₂(t),...,ϕ_n ( )t } - решение системы дифференциальных уравнений, то это решение называется устойчивым по Ляпунову, если для любого ε> 0 ∃∆>0, такое, что для любого решения y t( ) ={y₁( )t , y₂(t),..., y_n ( )t } той же системы, начальные условия которого удовлетворяют неравенствам

                                                                    y_i (t₀ ) −ϕ_i (t₀)<∆       i = (1,n) справедливы неравенства

                                                                 y_i ( )t −ϕ_i ( )t  <ε     ∀t ∈[t₀,∞)

(Ляпунов Александр Михайлович (1857 – 1918) академик Петерб. АН)

Т.е. можно сказать, что решение ϕ(t) устойчиво по Ляпунову, если близкие к нему по начальным условиям решения остаются близкими и при t ≥ t₀.

            Если lim y_i ( )t −ϕ_i ( )t = 0,                       i = (1,n), то решение ϕ(t) называется асимптотически

t→∞

устойчивым.

            Исследование     на     устойчивость     по     Ляпунову     произвольного                 решения

dyⁱ

ϕ( )t ⁼{ϕ₁( )t ,ϕ₂(t),...,ϕ_n ( )t } системы   = f t y_i ( , ₁, y₂,..., y_n );   (i =1,2,...,n)можно свести dt

к исследованию на устойчивость равного нулю решения некоторой другой системы, которая получена из данной заменой неизвестных функций:

                                                              x_i ( )t = y_i ( )t −ϕ_i ( )t ,      i =1,...,n.

            Система (2) имеет тривиальное (равное нулю) решение x_i ( )t = 0.

 Теорема. Решение ϕ( )t ={ϕ₁( )t ,ϕ₂(t),...,ϕ_n ( )t } системы (1) устойчиво по Ляпунову тогда и только тогда, когда