Резонанс в электрических цепях. Основные сведения. Резонанс в последовательном контуре, страница 3

            (3.15)

Резонанс в параллельном контуре наступает, если у входной проводимости реактивная составляющая равна нулю:

 или  ,                                                       (3.16)

где  и  - реактивные проводимости ветвей. Подставив в соотношение (3.16) значения b₁ и b₂ , выраженные через параметры цепи, и решив полученное уравнение относительно ω, найдем значение для резонансной частоты:

,                                               (3.17)

Из (3.17) следует, что не при всех параметрах параллельного контура может быть достигнут резонанс. Резонанс возможен, если сопротивления R_L и R_C оба больше или оба меньше характеристического сопротивления параллельного контура . В противном случае получается мнимая частота ω’₀, т.е. не существует такой частоты, при которой имел бы место резонанс. При R_L = R_C ≠ ρ резонансная частота  ω’₀= ω₀, т.е. такая же, как и при резонансе в последовательном контуре.

В радиотехнике и электросвязи применяются контуры с малыми потерями, т.е. R_L (R_C) << ρ. В этом случае величинами сопротивлений  R_L и R_C в (3.17) можно пренебречь и резонансную частоту вычислить по формуле .

Из векторной диаграммы (рис. 3.7) видно, что при резонансе        (b₂ = -b₁) противоположные по фазе реактивные составляющие токов в ветвях равны. Поэтому резонанс в рассматриваемой цепи получил название резонанса токов. Входной ток при этом может быть значительно меньше токов в ветвях и совпадает по фазе с напряжением на входе контура.

Таким образом, и в параллельном, и в последовательном контурах при резонансе наблюдается совпадение по фазе тока и напряжения на входных зажимах двухполюсника, что может быть принято в качестве критерия режима «резонанс» в пассивных двухполюсниках, содержащих катушки индуктивности и конденсаторы. В литературе данный критерий резонанса получил название «фазовый резонанс» [1].

Сопротивления потерь R_L и R_C (рис. 3.6) можно заменить параллельно подключенными к индуктивности и емкости эквивалентными сопротивлениями  R_экL и R_экС, вычисленными вблизи резонанса по формулам [2]:

; .      (3.18)

Тогда проводимость G потерь контура (при ω ≈ ω₀) равна

 .                           (3.19)

Схема замещения параллельного контура при использовании параллельных схем замещения катушки индуктивности и конденсатора приведена на рис. 3.8. На резонансной частоте с учетом формулы (3.2) полные проводимости индуктивности и емкости равны:

; , где σ = 1/ρ – характеристическая проводимость параллельного колебательного контура (величина, обратная характеристическому сопротивлению контура).

Тогда, действующие значения токов, протекающих через индуктивность и емкость, равны: I_L = I_C = σU, а входной ток контура равен току проводимости: I = I_G = GU. Отношение действующего значения тока реактивного элемента к входному току параллельного колебательного контура на резонансной частоте называется добротностью параллельного колебательного контура:

.                                               (3.20)

Из выражения (3.20) следует, что с увеличением проводимости G потерь добротность параллельного колебательного контура падает. Схема замещения параллельного контура, приведенная на рис. 3.8, существенно упрощает процесс анализа его свойств. В этом случае можно использовать все выражения, полученные для последовательного колебательного контура, производя в них взаимные замены токов и напряжений, сопротивлений и проводимостей элементов схемы. В частности, выражение входной проводимости параллельного контура  и выражение (3.1), определяющее входное сопротивление последовательного контура, имеют одинаковую структуру и могут быть получены одно из другого путем упомянутых замен.

Эквивалентная добротность контура (рис. 3.9) при подключении к нему источника энергии (с внутренней проводимости G_i) и нагрузки (с проводимостью G_Н) определяется выражением (3.20) при замене G на G_эк = G + G_i + G_H: