Частотные характеристики электрических цепей. Основные сведения. КЧХ электрических цепей первого порядка

4. Лабораторная работа № 4

ЧАСТОТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ

ЦЕПЕЙ

4.1. Основные сведения

Для описания свойств электрических цепей при гармоническом воздействии используют частотные характеристики, понимая под ними отношение отклика V₂ к входному воздействию V₁ при различных частотах. Комплексная частотная характеристика (КЧХ) ЭЦ – это частотная зависимость отношения комплексной амплитуды отклика к комплексной амплитуде воздействия:

,             (4.1)

где H(ω) = V₂/V₁ – модуль КЧХ, который называется амплитудно-частотной характеристикой (АЧХ), а ψ(ω) = (ψ₀₂ – ψ₀₁) – аргумент КЧХ или фазочастотная характеристика (ФЧХ) электрической цепи.

Таким образом, частотные характеристики (АЧХ и ФЧХ) электрической цепи характеризуют ее способность к передаче от входа к выходу амплитуды и фазы гармонических воздействий различной частоты.

Для двухполюсников отношение отклика к воздействию рассматривается на одной паре полюсов (выводов). Поэтому для них вводятся входные КЧХ  Z(jω) или Y(jω) с размерностью сопротивления или проводимости. Подобные характеристики рассматривались выше применительно к пассивным RLC двухполюсникам. То есть, если в качестве входного воздействия, приложенного к пассивному двухполюснику, используется синусоидальный ток (), а в качестве отклика – напряжение на входных зажимах двухполюсника (), то в соответствие с (4.1) входной КЧХ является входное сопротивление ЭЦ: . Аналогично входную КЧХ пассивного двухполюсника Y(jω) можно определить как .

Для описания свойств четырехполюсников используются входные, выходные и передаточные КЧХ. В данной лабораторной работе рассматриваются передаточные комплексные частотные характеристики  K(jω) пассивных четырехполюсников, определенных как отношение комплексных амплитуд выходного и входного напряжений .

3.1.1. КЧХ электрических цепей первого порядка

Электрическими цепями первого порядка называются ЭЦ, содержащие только один реактивный элемент. Передаточная КЧХ таких цепей в общем случае может быть представлено выражением в виде отношения двух линейных полиномов с аргументом ω:

.                                                                    (4.2)

Тогда амплитудно-частотная характеристика (модуль КЧХ) и фазочастотная характеристика (аргумент КЧХ) электрической цепи можно вычислить по формулам:

;                                                                           (4.3)

.                                             (4.4)

Рассмотрим два частных случая.

1.  Пусть а₁ = 0. Тогда из (4.2)-(4.4) следует:

,                                                            (4.5)

где K(0) = a₀/b₀ – коэффициент передачи ЭЦ по постоянному току (ω=0),

τ = b₁/b₀ – постоянная времени цепи;

АЧХ:    ;     ФЧХ         .         (4.6)

Графики АЧХ и ФЧХ (4.6) приведены на рис. 4.1. Частоту ω_г = 1/τ, на которой передаточная функция ЭЦ , называется граничной частотой полосы пропускания цепи, а такую цепь называют низкочастотным звеном. Примером пассивных низкочастотных звеньев служат ЭЦ, приведенные на рис. 4.2.

Для схемы рис. 4.2, а    передаточная функция имеет вид:

,                    (4.7)

где τ= RC – постоянная времени RC-цепи, а коэффициент передачи ЭЦ по постоянному току K(0) = 1.

Для LR-цепи (рис. 4.2, б) КЧХ имеет вид:

,                     (4.8)

где постоянная времени LR цепи τ = L/R, а K(0) = 1.

Рассмотренные схемы часто используются в качестве простейших сглаживающих фильтров (фильтров нижней частоты – ФНЧ) с верхней граничной частотой пропускания ω_В =ω_Г =1/τ. Звено типа RC (рис. 4.2, а) часто используется в качестве интегрирующей RC-цепи.

2.   Пусть а₀ = 0. Тогда из (4.2)-(4.4) получим:

,               (4.9)

где K(∞) = K(ω = ∞) = a₁/b₁, τ = b₁/b₀ – постоянное время цепи.

АЧХ: ;    ФЧХ: .        (4.10)

Графики АЧХ и ФЧХ (4.10) показаны на рис. 4.3. Частоту ω_г = 1/τ, на которой АЧХ , называется граничной частотой полосы пропускания цепи, а такую цепь называют высокочастотным звеном. Примером пассивных высокочастотных звеньев служат ЭЦ, приведенные на рис. 4.4.

Комплексные частотные характеристики RC- и LR-цепи (рис. 4.4) соответственно определяются выражениями:

,                    (4.11)

где τ= RC – постоянная времени RC-цепи, а K(∞) = 1.

,                     (4.12)

где постоянная времени LR-цепи τ = L/R, а K(∞) = 1.

Рассмотренные схемы являются простейшими фильтрами высокой частоты (ФВЧ) с нижней граничной частотой ω_Н =  ω_Г = .1/τ. Звено типа RC (рис. 3.4,а) при определенных условиях часто используется в качестве переходной цепи между каскадами усилителей или в качестве дифференцирующей RC-цепи.

3.1.2. КЧХ электрических цепей второго порядка

Электрическими цепями второго порядка называются ЭЦ, содержащие два реактивных элемента (однотипных или разнотипных). Передаточная КЧХ таких цепей в общем случае может быть представлена выражением в виде отношения двух квадратных полиномов с аргументом ω:

.          (4.13)

Тогда АЧХ и ФЧХ электрической цепи вычисляется по формулам:

АЧХ: ;                                         (4.14)

ФЧХ: .                (4.15)

Для удобства анализа КЧХ числитель и знаменатель выражения (4.13) следует поделить на число, равное b₂, оставив те же обозначения коэффициентов. Введя обозначения  b₂ = 1; b₁ = 2σ; b₀ = ω₀², получаем:

.                                                                       (4.13, а)

Тогда характеристическое уравнение имеет вид (p = jω):

,                                                                             (4.16)

а корни характеристического уравнения