Рождение физики элементарных частиц. Частица-волна, волновые свойства электрона, страница 4

ЧАСТИЦА-ВОЛНА. ВОЛНОВЫЕ СВОЙСТВА ЭЛЕКТРОНА

В 1913 г. датский физик-теоретик Нильс Бор распространил на атом идею Планка о квантовании энергетических состояний излучающих материальных центров. С точки зрения квантовой гипотезы Планка излучающий атом должен находиться в квантованных энергетических состояниях. Бор постулировал, что вращающиеся в атоме электроны находятся в одном из таких квантовых состояний, меняющихся при переходе электронов с орбиты на орбиту. С точки зрения классической электродинамики вращающийся в атоме электрон должен непрерывно излучать свет, так как находится под действием центростремительного ускорения, т. е. с классической точки зрения атом должен быть неустойчивым. Постулат Бора объясняет устойчивость атома невозможностью непрерывного излучения света электроном из-за нахождения его в дискретном квантовом состоянии.

Пытаясь понять смысл постулата Бора о стационарных орбитах, на которых энергия электрона удивительнейшим образом определяется целыми числами, французский физик-теоретик Луи де Бройль обратил внимание на то, что с целыми числами обычно приходится иметь дело в физических задачах на колебания, при описании стоячих волн, явлении интерференции. Это связано с периодичностью тригонометрических функций, описывающих волны. Например, уравнение sin х = 0 имеет решение х = np, где n — целые числа, включая 0. Кроме того, уже был общепризнан факт дуализма света, т. е. что природа света двойственна: он обладает свойствами волны и частицы, между характеристиками которых имеется связь E = hn и р = hn/c. Де Бройль также связал это свойство с известной уже столетие в классической физике замечательной математической аналогией между оптикой и классической механикой, а именно, что «траектории частиц сходны лучам некой волны». Эти несколько фактов, осмысленные де Бройлем, подсказали ему «сумасшедшую» идею: быть может и электрон, энергия которого в атоме квантована, обладает волновыми свойствами?! Тогда и стационарные орбиты электрона в атоме — это просто стоячие волны (характеризующиеся целыми числами), как бы захваченные атомом. Упомянутая аналогия между оптикой и механикой подсказала де Бройлю дальнейшее обобщение этой идеи. В 1924 г. он выдвинул революционную идею о том, что все материальные частицы обладают волновыми свойствами. Для связи характеристик частицы и волны де Бройль предположил известное для фотонов соотношение Планка

Частице де Бройль сопоставляет волну sin[2p(nt — kr)] или cos[2p(nt — kr)], где для частоты n  и волнового числа k— 1/l, имеет место одно из соотношений (2.16).

Как же количественно идея де Бройля позволяет объяснить энергию стационарного состояния электрона в атоме? Согласно гипотезе де Бройля, электрон в атоме на орбите — это просто стоячая волна, а поэтому волна l должна укладываться целое число раз на длине орбиты электрона 2pl_n радиусом R_n:

2 pR_n = nl, где n= 1, 2,... Используя соотношение де Бройля (2.16), получаем

Кроме того, для электрона на стационарной орбите имеет место равенство между действующими на него силами — кулоновским притяжением со стороны ядра с зарядом Ze и центробежной силой:

mv²/R_n = Ze²R_n²

Отсюда

mv=[mZe²/R_n]^1/2

Подставляя это выражение для скорости в (2.17), находим радиус орбиты электрона:

R_n =n²h²/(4p²mZe²).

Полная энергия электрона в атоме равна сумме кинетической энергии mv²/2 и отрицательной потенциальной энергии электрона в кулоновском поле ядра V(r) = -Ze²/R_n. Используя найденные значения для скорости электрона и радиуса орбиты, находим полную энергию электрона в атоме:

Это выражение, полученное с помощью элементарных математических выкладок, является одним из важнейших в квантовой механике атома. Оно замечательнейшим образом совпадает с эмпирическим соотношением (2.15)! Более того, оказалась одновременно вычисленной и постоянная R, хорошо известная из данных по спектрам атома и носящая название постоянной Ридберга!