- Определения отображения множества А в множество В,
множества А на множество В, взаимно однозначного отображения множества А
на множество В. Примеры .
- Определение эквивалентности двух множеств. Счетные
множества, континуальные множества. Примеры.
Задания для самостоятельной работы
Решить задания 5-11 на стр. 12 учебного пособия [1]. На
изучение раздела отводится два лекционных и два практических занятия.
Литература: [1] стр. 6-16
II .Векторная алгебра и
аналитическая геометрия
- Векторы. Проекция вектора на ось. Координаты вектора и
точки. Направляющие косинусы и длина вектора. Линейные операции над
векторами. Разложение вектора по ортонормированному базису.
- Скалярное произведение векторов. Векторное произведение
векторов. Свойства этих операций. Условие ортогональности и условие
коллинеарности двух векторов.
- Прямая линия на плоскости. Основная теорема. Различные
формы уравнения прямой. Расстояние от точки до прямой. Угол между двумя
прямыми.
- Линии второго порядка: эллипс, гипербола, парабола.
Преобразование координат (перенос начала)
- Плоскость. Основная теорема. Уравнение плоскости.
Расстояние от точки до плоскости. Прямая линия в пространстве.
Вопросы для самопроверки
- Определение координат вектора. Формулы направляющих
косинусов и длина вектора. Теорема о разложении вектора по
ортонормированному базису. Сложение векторов, заданных координатами.
Умножение вектора на число.
Литература [4]
стр.121-128,134-141
- Определение скалярного произведения векторов. Свойства
операции. Условие ортогональности двух векторов. Определении векторного
произведения векторов. Свойства операций. Условия коллинеарности двух
векторов.
Литература [4] стр.142-148,
стр.148-157
- Основная теорема о прямой на плоскости. Уравнение прямой с
угловым коэффицентом, через две данные точки, уравнения пучка прямых.
Формула расстояния от точки до прямой. Формула для тангенса угла от одной
прямой до другой. Условие параллельности и перпендикулярности прямых.
Литература: [4] стр.52-58
- Уравнения эллипса, гиперболы, параболы. Геометрический
смысл параметров этих уравнений. Эксцентриситет эллипса и гиперболы.
Литература: [4] стр.70-76, 80-90, 94-97.
- Основная теорема о плоскости. Уравнение плоскости,
проходящей через данную точку и имеющей данный нормальный вектор. Формула
расстояния от точки до плоскости. Теорема о задании прямой линии в
пространстве. Канонические и параметрические уравнения прямой.
Литература: [4]
стр.169-171, 181-185
Задания для самостоятельной работы
Рекомендуется решить задачи из сборника задач [6] :
- №№ 763,764,769,773,751,753,777,782,783
- №№ 814,820,826,835,842,843,851,857,859
- №№ 224,226,227,236,245,255,267,314,322(2),320
- №№
444(5),445(3),449,465(5),466(1),515(3),516(3),518,520,532(1,2,3),595,596(1,3),
597(2),600,541(2),471(3)
- №№
919,930,932,940(2),941(1),942(3),960,964(1),1009(2),1019(2),1021,1039,1040(2),
1042,1050,1053
На изучение раздела отводится пять лекционных и пять
практических занятий.
III .Введение в
математический анализ
- Переменная величина. Область изменения переменной.
Конечные и бесконечные промежутки. Функция, область ее определения,
способы задания. Основные элементарные функции и их графики. Сложная
функция. Элементарная функция.
- Числовая последовательность. Монотонные и ограниченные
последовательности. Предел последовательности конечный и бесконечный.
Теорема о существовании предела монотонной ограниченной последовательности
(без доказательства). Предел последовательности Хn=(1+1/n)n .
- Предел функции. Единственность предела. Свойства функции,
имеющей предел: локальная ограниченность, устойчивость знака. Теорема о
пределе функции, заключенной между двумя функциями, имеющими предел.
Переход к пределу в неравенствах.
- Бесконечно малые функции и их свойства. Теоремы об
арифметических операциях над функциями, имеющими предел. Неопределенные
выражения. Два замечательных предела. Сравнение бесконечно малых.
Эквивалентные бесконечно малые функции, применение к вычислению пределов.
- Непрерывность функции в точке. Непрерывность элементарных
функций. Точки разрыва и их классификация. Свойства функций, непрерывных
на отрезке. (формулировки теорем Вейерштрасса и Больцано-Коши)
Вопросы для самопроверки
- Определение функции, способы задания функции. Перечислить
основные элементарные функции и начертить их графики. Определение
элементарной функции.
Литература: [1] стр.17-22
- Определения числовой последовательности, монотонной
последовательности, ограниченной последовательности. Определение предела
последовательности конечного и бесконечного, символическая запись
определений. Определения на геометрическом языке.Предел последовательности
Хn=(1+1/n)n , число е.
Литература: [1] стр.23-29
- Определение предела функции: limƒ(x) = A , в случае, когда а,А – числа.
x а
Символическая запись определения.
Определения на геометрическом языке. Распространение определения на
случаи, когда А или а – символы +∞, -∞, ∞. Односторонние пределы функции.
Перечислить свойства функции, имеющий предел.
Литература: [1] стр.29-32
- Определение бесконечно малой функции. Перечислить свойства
бесконечно малой функции. Сформулировать теоремы об арифметических
операциях над функциями, имеющими предел. В каких случаях при вычислении
предела функции имеется неопределенность? Перечислите известные виды
неопределенностей и приемы их раскрытия. Запишите два замечательных
предела. Какие виды неопределенностей они помогают раскрыть? Определения:
функция α(x) бесконечно малая более высокого
порядка, чем функция β(x) при x → а;
α(x) и β(x) – бесконечно малые функции
одного порядка при x → а ; α(x) бесконечно малая n-ого
порядка относительно β(x) привести примеры.
Определение эквивалентных бесконечно малых функций. Сформулировать
теоремы, при помощи которых эквивалентные бесконечно малые функции
применяют к вычислению пределов. Запишите таблицу эквивалентных бесконечно
малых функций.
Литература: [1] стр.33-46
- Определения функции непрерывной в точке. Их
эквивалентность. Односторонняя непрерывность функции в точке. Точки
разрыва и их классификация. Примеры. Свойства непрерывных функций (
перечислить), теорема о непрерывности элементарной функции в каждой точке
области определения. Определение функции непрерывной на отрезке.
Сформулировать теоремы Вейерштрасса и Больцано-Коши.
Литература: [1] стр.47-54
Задачи для самостоятельной
работы:
- Рекомендуется решить задачи из сборника задач [5]: №№
9(б), 47(3,8,17,21), 54(2,12,15,16); из [7]: №№ 65-58.
- Литература: [3], задачи №№61-71.
- Литература: [3], задачи №№ 72-78; [5],
№№ 272-276, 293-297, 299, 300, 314, 317, 319-325, 328, 329, 332, 335-337,
342; 381-384, 351-365.
- Литература: [3], №№ 79-83.
- Литература: [3], №№ 84-89; [5],
№№225, 228, 230, 233, 234, 235, 236, 237, 240, 242.
На изучение раздела отводится
шесть лекционных и шесть практических занятий.
IV.
Дифференциальное исчисление функции одной переменной
- Задачи, приводящие к понятию производной, её
геометрический и механический смысл. Дифференцируемость и непрерывность.
Производная суммы, произведения частного.
- Производная сложной функции. Производная обратной функции.
Производные основных элементарных функций.
- Дифференцируемость и дифференциал функции. Геометрический
смысл дифференциала. Инвариантность формы дифференциала первого порядка.
Применение дифференциала в приближенных вычислениях.
- Теоремы о среднем: Ферма, Роля, Лагранжа, Коши.
- Производные и дифференциалы высших порядков. Раскрытие
неопределенностей по правилам Лопиталя-Бернулли.
- Формула Тейлора, Локальная формула. Формула с остаточным
членом в форме Лагранжа.
- Условия возрастания и убывания функции на промежутке.
Экстремум функции. Необходимые условия экстремума. Достаточные условия
существования экстремума.
- Определение интервалов вогнутости вверх и вниз графика
функции. Точки перегиба. Асимптоты. Схема исследования функции и
построения её графика.
Вопросы для самопроверки
- Определение производной, её геометрический и механический
смысл. Правила отыскания производной. Формулы отыскания производной.
Литература: [1],
стр. 55-69
- Определение дифференцируемости и дифференциала.
Геометрический смысл дифференциала. Применение дифференциала в
приближенных вычислениях.
Литература: [1], стр. 69-72
- Теорема о среднем. Сформулировать теоремы Ферма, Роля,
Лагранжа, Коши.
Литература: [1], стр. 72-78
- Производные и дифференциалы высших порядков. Раскрытие
неопределенностей по правилу Лопиталя-Бернулли: сформулировать теоремы.
Литература: [1], стр. 78-82
- Многочлен Тейлора данной функции Локальная формула
Тейлора. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа.
Литература: [1], стр. 83-88
- Признаки вырастания и убывания функции. Определение точки
максимума и точки минимума функции. Необходимые условия экстремума.
Достаточные условия экстремума.
Литература: [1], стр. 89-92
- Определение интервалов вогнутости вверх и вниз графика
функции. Точки перегиба. Асимптоты. Полное исследование функции и
построение ее графика.
Литература: [1],
стр. 93-98
Задания для самостоятельной
работы
Рекомендуется решить задачи:
Литература: [5]
- №№ 466(1,5,12), 469, 477, 503, 504, 509, 524, 525, 534,
541, 544, 552, 555, 566, 569, 584, 587, 595, 617, 609, 622, 629, 652, 656,
658, 665, 814, 827, 829, 840.
- №№ 879, 883, 889(17,20), 900, 902.
- №№ 1118, 1120, 1129, 1131, 1320.
- №№ 1019, 1021, 1025, 1326, 1330, 1343, 1344, 1349, 1352,
1355, 13588, 1356, 1360.
- №№ 1499, 1503, 1505.
- №№ 1408, 1417.
На изучение раздела отводится
восемь лекционных и семь практических занятий.
V.
Дифференциальное исчисление функции нескольких переменных
- Понятие функции нескольких переменных. Множества точек на
плоскости и в пространстве. n – мерное
арифметическое пространство Rn.
Определение функции нескольких переменных. Предел. Непрерывность.
- Частные производные. Дифференцируемость и дифференциал.
Необходимые условия дифференцируемости. Производные от сложных функций.
Инвариантность формы дифференциала первого порядка.
- Частные производные и дифференциалы высших порядков.
- Неявная функция и ее производная.
- Экстремум функции нескольких переменных. Необходимые
условия экстремума. Достаточные условия экстремума (формулировка теоремы).
- Скалярное поле. Производная по направлению. Градиент.
Поверхности и линии уровня.
Вопросы для самопроверки
- Определения δ –
окрестности точки на плоскости, в трехмерном, в n – мерном пространстве. Определения множества
замкнутого, ограниченного, связного. Определения функции двух, трех, n переменных. Определение
предела функции n переменных
и непрерывности в данной точке.
Литература: [1], стр. 99
– 105.
- Частное и полное приращение функции двух переменных.
Определение частных производных. Определение функции, дифференцируемой в данной
точке и дифференциала. Необходимые условия дифференцируемости, достаточные
условия дифференцируемости (формулировки теорем). Формула для отыскания
производных от сложных функций двух переменных. Формула полной
производной.
Литература: [1], стр. 105 – 110.
- Частные производные и дифференциалы высших порядков.
Литература: [1], стр. 110 – 114.
- Определение точки максимума и точки минимума функции двух
переменных. Необходимые условия, достаточные условия экстремума.
Литература: [1], стр. 114 – 117.
- Скалярное поле. Определение производной по направлению,
формула для ее вычисления. Определение градиента функции. Поверхности и
линии уровня.
Литература: [1], стр. 117 -119.
- Неявная функция. Теорема о существовании и
дифференцируемости неявной функции (формулировка)
Литература: [1], стр. 120 –
123.
Задания для самостоятельной
работы
Рекомендуется решить следующие задачи:
Литература: [5]
- №№ 2986 – 2988, 3003, 3004, 3008, 3012, 3015 (1,2).
- №№ 3037, 3040, 3041, 3043, 3045, 3047, 3046, 3055, 3056,
3061, 3101, 3104, 3110, 3113, 3115, 3125, 3127, 3128, 3131.
- №№ 3181, 3182, 3184, 3186, 3219, 3225.
- №№ 3278,3276.
- №№ 3451, 3455 (1,2), 3447, 3440 (3).
- №№ 3147, 3154, 3155
На изучение раздела отводится
четыре лекционных и пять практических занятий.
VI. Функции комплексного
переменного
- Комплексные числа. Их изображение на плоскости. Модуль и
аргумент комплексного числа. Алгебраическая, тригонометрическая и
показательная формы записи комплексного числа. Действия над комплексными
числами. Формула Муавра.
- Определение функции комплексного переменного. Комплексная
функция действительного переменного. Показательная функция комплексного
переменного и ее свойства