Бернулли — семья швейцарских ученых из Голландии

БЕРНУЛЛИ — семья швейцарских ученых, родоначальник которой Якоб Б. (умер в 1583) был выходцем из Голландии.

1) Якоб Б. (1654-1705)— профессор математики Базельского униврситета с 1687г. Ознакомившись в этом же году с первым мемуаром Лейбница но дифференциальному исчислению (1684), Б. вскоре блестяще применил новые идеи к выводу формулы  радиуса кривизны плоской кривой, к изучению логарифмической спирали, открытой им лемнискаты, ценной линии, упругой линии и других кривых, встречающихся в математике и механике. Ему, между прочим, принадлежит термин «интеграл». Совместно с братом Иоганном Якоб Б. положил начало вариационному исчислению. При этом особенное значение имели выдвинутая и частью решенная Якобом Б. изопериметрическая задача и найденное им решение поставленной Иоганном Б. задачи о брахистохроне. В работах Якоба Б. по теории рядов интересна обнаруженная им расходимость так называемого гармонического ряда. В изданном посмертно Николаем Б. сочинении «Искусство предположений» (1713) Якоб Б. решил некоторые задачи комбинаторики в  связи с изучением сумм вида 1^м , 2^м , 3^м …п^м открыл числа, позднее названные бернуллиевыми числами. В этом же труде он впервые доказал т. н. теорему Б.— важный частный случай закона больших чисел (см. Бернулли закон), имеющего основное значение в теории вероятностей и ее приложениях к статистике.

Кроме математики, Якоб Б. работал также в области физики по определению центра качания тел и сопротивления тел различной формы, движущихся в жидкости. Им показана форма «упругой линии», которая образуется упругим стержнем, один конец которого закреплён, а другой несет на себе груз. Задачу о центре качания он решил методом, в котором можно видеть частичное предвосхищение Д' Аламбера принципа.

2) Иоганн Б. (1667—1748), младший брат Якоба Б.,— профессор математики с 1695 в Гронингенском (Голландия), а с 1705 в Базельском университете. Почётный член Петербургской Академии наук, в изданиях которой опубликовал  9 работ. Иоганн Б. был деятельным сотрудником Лейбница в разработке дифференциального и интегрального исчислений, и области которых им был сделан ряд открытий (учение о показательных функциях; правило раскрытия неопределенностей  вида 0/0, несправедливо носящее имя Лопиталя; интегрирование   рациональных дробей; квадратура и спрямление различных кривых; теория каустик; ряд Б., родственный ряду Тейлора; определение понятия функции как апалитич. выражения, составленного из переменных и постоянных, и др.).  Иоганну Б. принадлежит также первое систематическое изложение дифференциального и интегрального исчислений. Конспект лекций, читанных им Лопиталю по дифференциальному исчислению, лег в основу написанного последним «Анализа бесконечно-малых» (1687). Курс интегрального исчисления Иоганна Б. был издан в 1742. Иоганн В. продвинул далее разработку методов решения обыкновенных дифференциальных уравнений (однородное и линейное уравнения первого порядка, т. н. уравнение Бернулли, линейные уравнения с постоянными коэффициентами, задача о траекториях). Он поставил классическую задачу о геодезических линиях  и нашел характерное геометрическое свойство геодезических линий, а позднее вывел их дифференциальное уравнение. Ожесточённый спор о решении вариационных задач, разгоревшийся между Иоганном и Якобом Б., в некоторой мере способствовал постановке новых проблем в этой области. Иоганну Б. принадлежат также ценные исследования по механике: теория удара, движение тел в сопротивляющейся среде, учение о живой силе, аналитическое правило равновесия; он дал весьма чёткое понятие работы и для простейших случаев сформулировал «принцип виртуальных скоростей». Большое значение для развития математики имела обширная научная переписка обоих братьев Б. с Лейбницем.

Якоб и Иоганн Б. жили в то время, когда складывалось исчисление бесконечно малых после открытия, сделанного Лейбницем и Ньютоном. В разработке и применении этого исчисления братья Б. принимали самое деятельное участие.

Прогрессивные материалистические идеи Иоганна и Якоба Б., их неизменное стремление строить математический анализ в тесной связи с его приложениями сочетались с передовыми тенденциями в области естествознания. Особенно отчётливо видны эти материалистические тенденции в трудах Иоганна Б. по механике, в которых он подчёркивал, что учёный обязан находиться «в пределах природы» и не прибегать к какому