Комплексные числа. Комплексная плоскость. Умножение и деление чисел в тригонометрической форме

Страницы работы

6 страниц (Word-файл)

Содержание работы

Тема: «Комплексные числа»

П.3. Комплексная плоскость

Рассмотрим плоскость прямоугольной системой координат  Оху. Каждому комплексному числу z=x+iy может быть сопоставлена в соответствии точки плоскости z(x,y), причем это соответствие взаимно однозначно. Плоскость, на которой реализовано такое соответствие, наз. комплексной плоскостью.

На Ох расположены действительные числа z=x+oi=x, поэтому Ох – действительная ось; на Оу расположены число мнимые числа z=o+iy=iy, поэтому Оу – мнимая ось.

Заметим, что r=/z/ - расстояние т. z от начала координат. С каждой точкой z связан радиус – вектор этой точки Оz; угол, образованный радиус-вектором Оz с осью Ох, называется аргументом φ=Аrg z  этой точки. Здесь – r<Arg z < + (Для точки z=0 arg-). Наименьшее модулю значение Arg z называется главным значением и обозначается arg z П <arg z< П.

Рис.:

Примеры: 1) z=2, z=2, arg2=0; 2) z=-1; z=1, arg(-1)=П; 3) z=I; z=1, arg=

Модуль r и arg z комплексные число z можно рассмотреть как координаты т.z/

x=z cos φ, y=r sin φ.

То  получили тригонометрическую форму комплексного  числа:

z=x+iy = r cosφ + i r sinφ = r (cosφ + I sinφ)/

Чтобы сложить (выч.) два компл. числа в тригонометрической форме и сложить (выч.) их радиусы-векторы (по правилу параллелограмм).

Теорема 1.

Модуль произведения к.r. равен произведению модулей, а аргумент равен сумме аргументов множителей.

Умножение и деление чисел в тригонометрической форме.

 

Следствие.

Модуль целой положительной степени к.r. равен такой же степени модуля α argzn=argz т.е.

 argzn = nargz т.е.

zn = zn (coshφ+isinhφ) – формула Муавра (Абрахам Муавр 1667-1754 английский математик).

Теорема 2.     z2≠0

Извлечение корня из компл.числа

Пусть  т.е. уже извл. ст. из к.z. z=r(cosφ+isinφ). Тогда **** т.1 (1) возв. в степ. h.

Отсюда

Таким образом  (понимает арифметическое значение корня) .

Получили       (R=0, 1, 2, 3, …, n-1)

Корень n-й степени из  к.r. z≠0 имеет точно n значение.

Пример 1.

z=-1+i Найти

  R=0,1,2

Отсюда

Точки w0, w11, w2 представляют собой равноотстоящие друг от друга точки расположенные по окружности радиуса

Пример 2.

Схеме                                                          ?

0           1                     0              -1

т.к. формула Эйлера

Тема: «Комплексное число»

П.1. Определение комплексного числа и арифметические действия над ними.

Опр. 1. Комплексным числом называется выражение вида

(1) z=x+iy или z=x+yi, [компл. чисел] где х и у действительные числа, I – линейная  единица:   

 

Действительные числа ч и у наз. соответственно действенной и мнимой частями числа z и обозначаются и образом: х=Rеz, y=Imz

Например, z=5+2i – комплексное число, Rеz=1,2, Imz=-0,7

Опр.2 Число z=x+i(-y)=x-iy называется сопряженным числу z=x+iy

Например, для числа ž=6+2i число z=6-2i сопряженное.

Числа z=-1,7-3i и ž=-1,7+3i сопряженное

Очевидно, что Rež = Rez, Imž = -Imz

Опр. 3. Модулем комплексного числа z называется неотрицательное число

Очевидно, что |ž| = |z|.

Множество комплексных чисел обозначается С.

На множестве комплексных чисел определено равенство двух чисел, операции сложения, вычитание, умножение и деление:

Пусть z1=x1+iy,  z2=x2+iy2 – комплексное число

1) z1=z2 <=> Re z1=Re z2, Im z1=Im z2.

z=0 <=> Re z=0, Im z=0

Числа вида x+i0=x действительные числа

Числа вида 0+iy=iy – чисто мнимые

z1+z2=(Re z1±Re z2) + (Im z1±Im z2)  

2) z1±z2 = (x1+y1i) ± (x2+y2i) = (x1±x2) + (y1±y2)i т.е. чтобы сложить (вычесть) два комплексных числа нужно сложить (вычесть) действительные части, сложить (вычесть) мнимые части (полученные действия и мнимые части записать в виде суммы).

Пример z1=2+3i,  z2=7-11i

z1±z2 = (2+3i) + (7-11i) = 2+3i+7+(-11)i=(2+7)+(3+(-11))i=9+(-1)i=9-4i;

z1-z2 = (2-7) + (3-(-11))i=-5+14i

3) z1·z2 = (x1+y1i) ± (x2+y2i) = x1x2 + x1y2 = x1x2 + x1y2i+x2y2i – y1y2 = (x1x2 + x1y2) + (x1y2 + x2y1)i.

y1i·y2i = y1·y2·i2

Пример. z1=2+3i   z2=7-11i         z1·z2=(2·7-3+..)+(2(-11)+7·3)I = 47-1i

Очевидно, что z1·ž = |z|2 = x2+y2

4)

z2 ≠ 0

Пример  z1=1+3i,       z2 = 2-i

П.2 Комплексная плоскость. Тригонометрическая форма комплексных чисел.

Рассмотрим координатную плоскость Оху. Комплексное число z=x+iy можно изобразить на этой плоскости в виде точки z(x,y). На оси Ох расположены действительные числа, на Оу – чисто мнимые, поэтому Ох – действит. ось, Оу – мнимая ось, плоскости Оху – комплексная плоскость.

Заметим, что |z|=r – расстояние точки z от начала координат, r -  радиус-вектор точки z. Радиус-вектор r образует  с Ох угол φ. Угол φ=arg z называется аргументом точки z.

Для аргумента φ:

Схема.

(*)

Пример а) z=2, |z|=2, arg z=0, z=-1, |z|=1, arg z =-П

б) z=I, |z|=1, arg z =

из (*) => х=rcosφ, y=isinφ.  Также х+iy = rcosφ+irsinφ = r(cosφ+isin), φ=argz.

Выражение вида z=r(cosφ+isinφ) – тригонометрической форме комплексного числа.

Комплексные числа в тригонометрической форме можем складывать, вычитать, умножать, делить.

Пусть z1=r1(cosφ1+isinφ1), z2=z2 (cosφ2+isinφ2)

1) z1+z2 = (|z1|±|z2|)[cos(φ21)+isin(φ21)]

Схема

2) z1-z2 = z1-z2 [cos(φ21)+isin(φ21)]

3) zh=|z|h [coshφ+isinhφ]

4)

Примеры:

1) (3+5i)(4-i)                                      [17+17i]

2) (6+i)(3-i)

3) Представим числа i, 1+i в тригонометрической форме

         |z| =

 

Похожие материалы

Информация о работе

Предмет:
Математика
Тип:
Конспекты лекций
Размер файла:
137 Kb
Скачали:
0