Прочность конструкций. Метод конечных элементов

ПРОЧНОСТЬ  КОНСТРУКЦИЙ

Лекция № 17.                         МЕТОД  КОНЕЧНЫХ  ЭЛЕМЕНТОВ

Введение

Суть численных методов расчёта на прочность, устойчивость и динамические нагрузки с применением ЭЦВМ.

Перечень численных методов (Уч. СМ [K]).

54. Введение в метод конечных элементов (Уч. СМ [Б/М]).

Основные этапы решения в МКЭ.

55. Основные уравнения МКЭ.

Деформации и напряжения внутри элемента.

Вариационное уравнение МКЭ.

Матрица жёсткости элемента.

Узловые нагрузки.

Разрешающая система линейных алгебраических уравнений МКЭ.

Гл. 8. Основы прочности и жёсткости летательных аппаратов. Стр. 240. Егер, Матвиенко, Шаталов.

1. Предварительная динамическая компоновка летательных аппаратов. (Суть МКЭ – схема расчёта).

2. Матричная аппроксимация при расчёте конструкций из статьи К.М. Наджарова, ТЕОРИЯ И ПРАКТИКА ПРОЕКТИРОВАНИЯ ПАССАЖИРСКИХ САМОЛЁТОВ. Сборник статей. 1976г. Издательство «Наука». МАИ. Москва.

Новые понятия и термины.

Аппроксимация –

Биполином Вариации – малые отклонения,

Коллокация –

Континуум –

Полином –

Функционал –

Лекция № 17.                                         М   К  Э

Введение.

При расчетах на прочность, устойчивость и динамические нагрузки в последние десятилетия все более широко используются численные методы. Особенно важно применение численных методов для расчета таких сложных конструкций, как летательные аппараты, двигатели или инженерные сооружения, например мосты.

Успешная реализация численных методов связана с использованием электронных цифровых вычислительных машин (ЭЦВМ). Применение ЭЦВМ позволяет получить численными методами решения многих задач, для которых нет аналитических решений либо их получение связано с большими трудностями.

Широкая универсальность численных алгоритмов, высокое быстродействие современных ЭЦВМ позволяют получать решения поставленных задач с минимальной затратой времени ученого или инженера и с высокой точностью результатов.

Наибольшее распространение в задачах сопротивления материалов и строительной механики получили следующие численные методы:

— метод конечных разностей,

— метод конечных элементов,

— метод коллокации.

Остановимся более подробно на этих путях решения задач.

1. Метод конечных разностей

Метод конечных разностей (или, сокращенно, MKP) основан на представлении дифференциальных уравнений в виде разностных соотношений.

Пусть имеется некоторая функция f(x). Если обозначить через Δх фиксированную величину приращения аргумента (шаг), то приращение функции Δf (х) при изменении аргумента на Δx будет следующим:

.

Величина Δ f (x) называется первой конечной разностью функции f(x).

Аналогично, конечной разностью порядка п называется величина

, где  п ≥ 2.

Например, второй конечной разностью будет

Очевидно, производная может быть приближённо выражена через конечную разность порядка п, а именно:

.

В частности, первая и вторая производные могут быть представлены в виде

Для иллюстрации применения метода конечных разностей рассмотрим снова задачу (разобранную подробно выше, в главе XIII) об устойчивости стержня под действием  сжимающей нагрузки Р, приложенной к его концам (рис. 216). В качестве граничных условий примем условия шарнирного закрепления обоих концов (этот случай на стр. 322 назван основным).

Уравнение изогнутой оси стержня напишем, исходя из соотношений на стр. 323, в виде

,                                      (302)

где  у – прогиб в направлении оси у (рис. 216). Если ввести обозначение , то (302) можно переписать в виде  .                                        (303)

Если рассматриваемый стержень длиной L разделить на п равных частей и длину каждого рассматриваемого интервала обозначить через s, т. е.

, то уравнение (303) может быть переписано в конечных разностях. При этом

,                                                (304)

где y_{i – 1},  y_i,  y_{i + 1}  – прогибы в соответствующих точках разбиения i – номер рассматриваемой точки. В данном случае вторая производная представлена через так называемую центральную разность, причём принято .

Этому значению второй производной в точке i отвечает изгибающий