Примеры задач нелинейной оптимизации. Планирование работы гидроэнергетического комплекса

1.1.1. Примеры задач нелинейной оптимизации

Приведенные в этом разделе задачи содержат условия, которые представляются нелинейными зависимостями. При построении соответствующих моделей иногда удается избежать включения в модель нелинейных функций и в результате получать модель линейного программирования. Иногда результирующая модель все-таки нелинейна – из класса моделей нелинейного программирования, но вследствие единичности нелинейных условий удается свести решение полученной задачи к необходимости решения последовательности задач линейного программирования. В некоторых задач полученная модель является существенно нелинейной, ее рассматривают как задачу нелинейного программирования с использованием методов решения нелинейного программирования.

При рассмотрении приведенных в этом разделе задач рекомендуется обратить внимание, как учитываются нелинейные условия исходной задачи при построении модели, при возможном ее преобразовании или на стадии решения.

Задача 1.16. Задача о смешивании

Для получения конечного продукта при перегонке нефти и приготовлении угольных смесей часто возникает необходимость смешивания нескольких видов сырья на промежуточных стадиях процесса. Это бывает обычно обусловлено ограниченностью емкостей для хранения компонентов, а также необходимостью совместной транспортировки исходных продуктов [7,т.1]. На рисунке 1.3 представлена упрощенная схема процесса смешивания двух фракций.

Рис. 1.3.- Схема процесса смешивания

В этой системе сначала смешивается два потока сырья: V₁ c содержанием серы 3 % и V₂ с содержанием серы 1 %. Полученная смесь смешивается в двух различных пропорциях с третьим потоком сырья F, имеющим 2 % серы; при этом получается 2 вида конечной смеси.

Первая смесь должна производиться в количестве не более 100 баррелей в час, причем содержание серы не должно превосходить 2,5 %; для второй смеси аналогичные показатели равны 200 баррелям в час и 1,5 %. Стоимость сырья для потоков 1, 2, 3 – равна 6, 16 и 10 долл. за 1 баррель соответственно. Продажная цена смесей составляет 9 и 10 долл. за 1 баррель соответственно. Требуется определить размеры потоков, максимизирующие доход.

Пусть P_i – выход смеси i-го вида (в баррелях в час);

·  F_i – величина потока сырья третьего вида, используемого в смеси i-го вида;

·  V_i – величина потока промежуточной смеси, используемой в i-ой смеси;

·   – содержание серы в промежуточной смеси.

Условие баланса для потоков:

,

,

.

Условие баланса по содержанию серы:

,

,

.

Кроме того, имеются ограничения на выход смеси:

,

Содержание серы в промежуточной смеси определяется содержанием серы в ее компонентах, поэтому:

Целевая функция в данном случае линейная:

.

Задача оптимизации имеет вид:

максимизировать

при ограничениях

,

,

,

,

,

,

и , ,

Единственными нелинейностями задачи являются члены вида  и  в h₂, g₁ и g₂; в остальном она линейна.

Поэтому самым простым решением здесь является линеаризация модели с дальнейшим использованием метода линейного программирования. С этой целью задается некоторое значение  из заданного диапазона, в результате задача становится линейной. Полученное решение задачи ЛП можно использовать для корректировки значения ; процесс решения задачи следует продолжать до получения удовлетворительного приближения.

Вопросы для обсуждения:

1. Какие ограничения в модели являются балансовыми? Ограничения какого типа (равенства, неравенства) используются для моделирования балансовых соотношений? Почему?

2. В модели, изложенной в учебнике [7], представлены не все балансовые соотношения. Постройте недостающее ограничение.

3. Решите задачу в пакете Excel. Прокомментируйте полученный ответ.

Задача 1.17. Планирование работы гидроэнергетического комплекса

На рисунке 1.4 представлен гидроэнергетический комплекс, состоящий из двух водохранилищ и двух гидроэлектростанций, каждая из которых использует свое водохранилище [7]. Горизонт планирования работы комплекса разбит на два периода. При наполнении одного из водохранилищ избыток поступающей воды удаляется через водосброс, который также можно использовать для сброса воды в целях защиты от наводнений. Вода, проходящая через водосброс, не влияет на производство электроэнергии.

Рисунок 1.4 - Гидроэнергосистема из двух водохранилищ и двух электростанций

.

Предполагается, что один килоакр-фут (КАФ) воды на электростанции A преобразуется в 400 МВт·ч электроэнергии. Для станции B аналогичный показатель равен 200 МВт·ч. В течение одного периода станция A может произвести 60 000 МВт·ч электроэнергии, станция B – 35 000 МВт·ч электроэнергии. Цена 1 МВт·ч электроэнергии равна 20 долл. при условии, что общий объем ее реализации не превосходит 50 000 МВт·ч