Примеры решения задач по дисциплине "Высшая математика"

( .'войсгва вероятности.

. Если А — достоверное собьпис, то если А — невозможное событис. то Р(А) О, Для любого события А выполняинся неравснства

3.  Если А и В — несовмсстные события, п) Р(А4В) Р(А) Ф Р(В).

4.  Если событие А «чечет событие В (т.е. А ее может произойти, если не произошло В), то .Р(А) S Р(В).

Определение. События А и В называюк;я независимыми, если вероятность появления однод.) из них нс зависит от появления или непоявления другого.

фимером независимых событий может служить выпадения «орла» в двух повторных подбрасываниях монетки — понятно, что вероятность выпадения орла во втором испытании никак не зависит от исхода первого.

Рассмотрим следующее испытание. В ящике находятся 2 белых и 3 чёрных шара. Испытание заключается в последовательном вытаскивании двух шаров

из ящика без возвращения. Событие А заключается в том, что в первый раз выз япули белый шар, а событие В — в том, что во второй раз вытянули черный. Собьггия А и В являются зависимыми. Действительно, пусть первый вытянутый шар — белый, т.е. событие А произошло. Тогда в ящике осталось З черных шара и белый, и  Если же событие А не произошло, то в ящике осталось по два белых и чёрных шара и ЦВ) = 1/2.

ТЕОРЕМА

Вероятность совместного появления Двух независимых событий равна произвеДению вероятностей этих событий: Р(АВ) = Р(А)Р(В).

Для того, чтобы обобщить этот результат на произвольное число событий,

•ам потребуется понятие незавиеимоети событий в совокупности.

Определение. Несколько событий называют независимыми в совокупно— спш, если каждое из них и любое произведение остальных событий (содержащая либо все остальные события, либо часть из них) есть события независимые.

Замьгим, что требование независимости в совокупности сильнее требования попарной независимости собьггий.

ТЕОРЕМА

Вероятность соаиестного пояаиения нескольких событий, независимых в совокупности, равна произвеДению вероятностей этих событий:

ПРИМЕР

Испытание сослоит в одновременном броске симмелричной монсгки, брос.кс симмезричной игральной кости и вытяжнании карп,1 из колоды в 52 карты. Какова всроялт«кль «но. монетка выпала «решкой» вверх, на кости выпало

4 очка и карга, вьп»нујая из колоды. оказалась тузом?

Решение

Пусть событие Л означает выпадение монетки «решкой» вверх; собьггие В выпадение 4 очков на кости, а событие С — то, что из колоды вытащен туз. Очевидно, Р(А) = 1/2, ЦВ) = 1/6 и РС) 4/52 1/13. Поскольку все три испызания независимы, то и события А, В и С независимы, следовательно, по теореме о вероятност произведения событий искомая вероятность равна

2  6 13 156

Пусть события А и В зависимые. Тогда вероятнослъ события В зависит от того, наступило ли событие А.

Определение. Условной вероятностью РА(В) называется вероятность собьпия В, вычисленная в предположении, что собьпмеА уже наступило.

Условная вероятность Рл(В) также иногда обозначается как Р(ВЯ), но в

элем пособии мы будем придерживаться первого обозначения.

ПРИМЕР

Бросаются две симметричные монетки. Какова вероятность того, выпало два «орла», если известно. что на первой монетке выпал «орел»?

Решение

Пусть собьпме А означает, что на двух монетках выпало по «орлу», а событиеВ — выпадение «орла» на первой монетке. Мы уже знаем, что ИВ) = 1/4. Но по определению условной вероятности, нас интересует значение РЖА). В предположении того, что событие В уже наступило, имеем два элементарных исхода: «орел-орёл» и «орёл-решка», причем благоприятным является только первый. Итак, РЖА) 1/2.

]айти вероятность произведения зависимых событий помогает следующая

Вероятность соаместного пояаления Двух зависимых событий равна произееДению вероятности одного из них на условную вероятность Другого, вы-

численную в преДположении, что первое событие уже наступило: РИВ) = = Р(ВУЧА).

Заметим, что теорема о вероятности произведения независимых событий является частым случаем последней тсоремы, так как для независимых собы1 Ий Л и В, конечно, РА(В) = ЦВ).

ПРИМЕР

Из тральной колоды в 36 карг вытягивают подряд две карты. Какова вероятность того, первая карта октзалась тузом, а вторая - королём или дамой?

Решение

Воспользуемся теоремой о вероятности произведения зависимых собылий. Пусть Л = (первая вытащенная карга туз), В = {ваорая вытащенная карт король или дама}. Нас интересуег вероятность НАВ), которая по вышеупомянутй теореме равна  Поскольку в колоде на 36 карг приходится 4 луза, то Р(Л) = 4/36 = 1/9. Вычислим Р„(В). В этом случае благоприятных исхо-

дов 8 (ровно столько в колоде осталось королей и тузов), а всего элементарных исходов уже 35, поскольку мы считаем, что первая вытащенная карга - туз. Та8 ким образом РА(В) = .. Итак, искомая вероятность равна

35

9 35 315

Пусть Л и В — два совместных собьпмя, т.е. появление одного из них не исключает появление другого в том же испытании. Это означает, что НАВ) О. Чему в этом случае равна вероятность суммы событий А и В? Огвсг на этот вопрос дает следующая