Закон равномерной плотности. Нормальный закон распределения.

Рассмотрим некоторые конкретные законы распределения случайных величин, имеющих плотность вероятности.

Закон равномерной плотности.

Предположим, что о некоторой случайной величине  x заранее известно, что она попадает в определенный интервал оси Ox     [a,b], причем все значения x в этом интервале одинаково вероятны (обладают одной и той же плотностью вероятности, f(x) = const).  Тогда говорят, что случайная величина  x распределена по закону равномерной плотности:  

Постоянная С  определяется из условия нормировки:  откуда получаем уравнение: . Итак, равномерная плотность имеет вид:

Это двухпараметрическое распределение с двумя параметрами  a и b

Нарисуем график такой плотности вероятности.

Легко строится функция распределения F(x):

Функция распределения F(x) имеет кусочно-линейный вид.

Нарисуем ее график. Функция распределения  F(x) позволяет вычислять вероятности попадания равномерно распределенной случайной величины  x в тот или иной интервал числовой оси Ox.

Найдем математическое ожидание . Имеем

Медиана  равномерного распределения равна этой же величине:

Найдем дисперсию равномерного распределения:

Итак, для равномерного распределения дисперсия

Можно еще рассмотреть стандартно распределенную равномерную случайную величину x. Для нее a=0, b=1. Следовательно, эта величина равномерно распределена на отрезке [0,1]. Математическое ожидание такой величины равно 0.5, а дисперсия равна.

Стандартная случайная величина  x, равномерно распределенная на отрезке [0,1], наиболее часто применяется в различных теоретико-вероятностных расчетах.

Нормальный закон распределения.

Случайная величина  x  называется распределенной по нормальному закону, если ее плотность вероятности f(x) имеет вид:. Другое употребительное название такой плотности – гауссова функция ошибок. Коротко записывают еще и так:  Это означает, что плотность вероятности случайной величины  x имеет вид:.Это двухпараметрическое распределение, с двумя параметрами: a и s.Для этой плотности, величина s должна быть положительной, иначе функция f(x) окажется отрицательной и не сможет быть плотностью вероятности. Аналогичного ограничения на величину a наложить нельзя, она пока может быть произвольной. Для более полного уточнения условий, которые надо наложить на оба эти параметра, рассмотрим выполнение условия нормировки плотности:? Имеем в случае нормального закона

Условие нормировки выполнено, причем  никаких других ограничений на величины  s и  a накладывать не надо, плотность нормального закона будет автоматически нормированной при  s > 0, a -  любая конечная величина.

Найдем математическое ожидание и дисперсию нормально распределенной случайной величины  x.

Имеем

=

Оказывается, параметр распределения a  в нормальном законе означает математическое ожидание случайной величины.

Для дисперсии:

=

.

Дисперсия нормального закона распределения оказалась равной другому параметру распределения: . Следовательно, параметр s  является среднеквадратичным отклонением для нормально распределенной случайной величины  x.

В частном случае, когда a = 0, s =s² =1,  получаем плотность так называемого стандартного нормального закона с плотностью вероятности . Нарисуем график функции(шапочка), отметим точку экстремума и две точки перегиба с абсциссами x=±1. Говоря другими словами, точка перегиба стандартной плотности нормального закона находится на расстоянии от оси Oy, равном  единице, то есть равном среднеквадратичному отклонению s = 1.

График плотности вероятности в общем случае (при произвольных a  и s), то есть график функции  выглядит аналогично: это «шапочка» с точкой максимума при  x=a  и двумя точками перегиба при  x = a- s и   x= a+ s. Можно сказать так, что расстояние между точками перегиба на графике нормальной плотности вероятности равно удвоенному среднеквадратичному отклонению 2s. Это свойство позволяет иногда находить среднеквадратичное отклонение s в нормальном законе геометрическим методом, находя расстояние между точками перегиба на графике плотности вероятности, и приравнивая его 2s, находить само s.

Рассмотрим теперь функцию распределения F(x) для нормального закона. Имеем по определению

Итак, функция распределения нормального закона F(x) выражается через  вспомогательную функцию F₀(x):  , причем  фактически функция F₀(x) является функцией распределения стандартного нормального закона с математическим ожиданием 0 и дисперсией, равной 1.

Функция F₀(x) табулирована и приводится во многих учебниках и математических монографиях по теории вероятностей и математической статистике.

В некоторых случаях вместо функции распределения F₀(x) используется функция Лапласа . Можно видеть, что имеет место равенство:. Функция Лапласа Ф(x) является нечетной функцией аргумента x,  поэтому ее табулируют только на полуинтервале от x = 0 и до x= +¥ (обычно – до x=5).

Выразим вероятность произвольного случайного события, связанного с нормально распределенной случайной величиной, через функцию Лапласа:

Пример.  Правили «трех сигм» для нормально распределенной случайной величины.

Рассмотрим вероятность случайного события Получается, что нормально распределенная случайная величина с большой вероятностью 0,9973 попадает в интервал шириной 6s, центром которого является математическое ожидание a, а во внешность этого интервала  попадает   с вероятностью 0,0073. Эта вероятность  сама по себе очень мала,  она значительно меньше ,   как это имело место в неравенстве Чебышева для произвольной случайной величины, имеющей конечную дисперсию. Появление дополнительной информации о случайной величине (о том, что случайная величина  x нормально распределена) существенно суживает интервал «правила трех сигм».