Глава «Числовая система». Натуральные числа

Натуральные числа

Числа {1,2,3,… },  получающиеся из единицы операцией сложения называют натуральными и обозначают .  Геометрическая интерпретация натуральных чисел --точки на прямой ℓ, которые получаются в результате откладывания с помощью циркуля выбранного заранее единичного отрезка в выбранном направлении. Такой интерпретацией мы далее будем пользоваться постоянно, поэтому сформулируем

Определение. Числовой осью  называется прямая ℓ,  с выбранной на ней точкой O (начало отсчета),  выбранном положительном направлении и выбранном  отрезке , длину которого полагаем равным единице.

Итак, мы начали приписывать точке  на оси координату  – число. Сейчас мы это сделали только для некоторых точек – концов отрезков .

Присоединим к множеству натуральных чисел элемент ноль 0, обладающий свойствами   для любого  . Получаем множество  всех целых неотрицательных чисел. Именно началу координат, точке   припишем нулевую координату.

На множестве  ₀ имеется отношение линейного порядка. Скажем, что n<m, (n  строго меньше m), если найдется натуральное число k такое, что .  Геометрически это значит, что точка, соответствующая числу m лежит правее точки, соответствующей числу n. Отношение  нестрогого неравенства тогда получается из отношения строгого неравенства простой логической операцией: n≤  m по определению означает, что либо n=m, либо n<m. Например, 5≤  5 -- верное высказывание.

Операция деления не всегда возможна в области натуральных чисел. Это дает нам право ввести отношение делимости: скажем, что число n делит  число m, если  для какого-либо подходящего k∈ . Обозначается это отношение так: . Среди всех натуральных чисел особо выделяются простые числа -- это числа p имеющие ровно два делителя -- единицу и само число p. Первые несколько простых чисел таковы:

Множество простых чисел бесконечно.

Основная  теорема арифметики гласит, что любое натуральное число большее единицы разложимо в произведение простых чисел и это разложение единственно с точностью до перестановки сомножителей. Например,  есть разложение на простые множители числа 120.

Целые числа

На множестве натуральных чисел уравнение вида не разрешимо, вообще говоря, относительно . Чтобы исправить это, вводятся отрицательные целые числа. Это множество {-1,-2,-3,… }. Считаем, что 0>-1>-2>-3>…  и, таким образом,  по определению неравенство -k>-m для двух натуральных чисел k и m имеет место тогда и только тогда, когда k<m. Совокупность как положительных так и отрицательных целых чисел, а также нуля называется кольцом целых чисел ℤ .  Итак:

Термин "кольцо"  значит, что на этом множестве имеются операции сложения и умножения, подчиняющиеся свойствам перестановочности (коммутативности), сочетательности (ассоциативности) и распределительному закону (дистрибутивность), а также для любого числа имеется противоположное, в сумме с которым данное число дает ноль – нейтральный элемент операции сложения.

Целые отрицательные числа  интерпретируются на числовой оси точками, которые получаются откладыванием единицы масштаба в отрицательном направлении (см. рис. 2)

Для целых чисел отношение делимости вводится также как и для натуральных чисел.

Евклидовость кольца целых чисел заключается в том, что для любого ненулевого числа n и для любого целого числа m найдутся единственные числа q (неполное частное) и r (остаток) такие, что

Для  целых чисел a,b,c,…   определяются наибольший общий делитель  НОД(a,b,c,… ) как наибольший из общих делителей этих чисел, а также наименьшее общее кратное  НОК(a,b,c,… ), как наименьшее неотрицательное целое число, которое делится на каждое из чисел a,b,c,… . Числа a,b,c,…  называются взаимно простыми, если НОД(a,b,c,… )=1. Вычислим

НОД(30,48)=6;   НОК(30,48)=48⋅ 30/6=30⋅ 8=240

Здесь мы воспользовались формулой

Рациональные числа

Очень часто требуется разделить некоторую величину на n равных частей, т.е. решить уравнение . В кольце целых чисел такое уравнение не всегда разрешимо, и мы вновь  встаем перед проблемой  расширения системы чисел до более обширной, в которой сохраняются  прежние алгебраические правила,  и данное уравнение всегда разрешимо при .  Рациональное число есть дробь вида , где знаменатель  есть целое число, отличное от 0, а числитель  -- произвольное целое число. Считаем

Отсюда следует правило сокращения:  .  Операции сложения и умножения над дробями определяются так

Относительно этих операций множество всех рациональных чисел  образует поле, т.е. помимо законов ассоциативности, коммутативности и дистрибутивности