Определённый интеграл. Критерий интегрируемости. Формула Ньютона-Лейбница

Пусть  интегрируема на отрезке  для фиксированного  и любого  такого, что . Выберем точку . Несобственный интеграл  сходится в том и только том случае, если сходится несобственный интеграл  При этом условии имеет место равенство

Формула Ньютона-Лейбница для несобственных интегралов. Пусть   -- первообразная непрерывной функции  на интервале (c,d). Предположим, что существуют пределы

Тогда несобственный интеграл  сходится, причём

Равенство (5) вытекает из формулы Ньютона-Лейбница для обычных интегралов и соотношений (4).

Пример. Вычислим

6.2  Теорема сравнения.

Пусть  на интервале . Тогда

1)  если   сходится, то  сходится;

2)  если   расходится, то  расходится.

Доказательство. 1) Если сходится, то существует (конечная) площадь криволинейной трапеции  Т под графиком функции . Криволинейная трапеция под графиком функции  содержится в Т, следовательно и у нее площадь также конечна. Тем самым интеграл  сходится.

2).  Если бы интеграл сходился, то и интеграл  также бы сходился, согласно первому утверждению. Это, однако, противоречит условию. Противоречие показывает, что интеграл должен расходится. □

Следствие.   Пусть функции  кусочно непрерывны и имеют неотрицательные значения на пполуинтервале . Предположим, что существует предел  причём он отличен от 0. Тогда интегралы    и   ведут себя одинаково в смысле сходимости, т.е. либо оба сходятся, либо оба расходятся.

Аналогичное утверждение имеет место для полуинтервала (c,b].

Предложение об "эталонных" интегралах . Пусть a>0.

1.  Интеграл  сходится тогда и только тогда, когда p>1.

2.  Интеграл   сходится тогда и только тогда, когда p<1.

Доказательство. 1. Если , то первообразная  подинтегральной функции  имеет конечный предел 0 при . По формуле Ньютона-Лейбница для несобственных интегралов, получаем, что интеграл  сходится и равен .

Если , то первообразной подинтегральной функции служит  , который не имеет конечного предела на . Для  то же самое можно сказать о первообразной .

Аналогично, прямыми вычислениями доказывает второе утверждение.

Примеры 

1.  Интеграл сходится, так как здесь  Тогда и интеграл  будет сходится, ибо на бесконечности имеет место асимптотическая оценка:

2. Исследуем на сходимость . Так как  при x→ 0, а интеграл  сходится (здесь  -- см. предложение об эталонных интегралах, пункт 2), то и исходный интеграл сходится.

3. Докажем, что интегралы   и  сходятся и вычислим их. Имеем

Интеграл   также сходится, ибо занесение под знак дифференциала  и замена  превращают его в интеграл , который сходится согласно предложению об эталонных интегралах и равен 1.

Интегралы  и   расходятся, так как такая же замена приводит их к несобственным  эталонным интегралам  и , с  

6.3   Абсолютная сходимость

Теорема сравнения и ее следствие применимы только к неотрицательным функциям.  Как исследуется на сходимость несобственный  интеграл  в случае функции , меняющей знак на полуинтервале  Заметим, что если от функции  перейти к ее модулю , то условие неотрицательности будет соблюдено.

Предложение. Если интеграл  от модуля функции сходится, то и интеграл от самой функции также сходится.

Доказательство. Итак, нам известно, что интеграл   сходится. Из неравенств  следует  (прибавили ко всем частям величину ). Из сходимости  вытекает сходимость  (свойство линейности). Тогда по теореме сравнения получаем, что и интеграл  сходится.  Разность двух сходящихся интегралов   и  дает сходящийся интеграл , что и требовалось доказать. □

Определение. Несобственный интеграл  называется абсолютно сходящимся,  если интеграл  сходится.  В случае, когда несобственный интеграл    сходится,  но не сходится абсолютно, то интеграл   называют условно сходящимся.

Пример. Интеграл  сходится условно. Обозначим  Геометрический аналог этого утверждения заключается в том, что суммарная площадь  равна бесконечности, хотя знакочередующийся ряд  сходится (см. рис. 2).

Действительно,  для ε >0 имеем:

Так как  и интеграл  сходится, то при  правая часть в (1) имеет предел. Следовательно, и левая часть  имеет предел при  Итак, интеграл  сходится.  Точка 0 есть устранимая особенность функции  в силу первого замечательного предела. Доопределяя эту функцию в нуле единицей, получаем непрерывную функцию