Операционное исчисление. Преобразование Лапласа

1  Преобразование Лапласа

Комплекснозначную функцию действительного переменного f(t) назовем оригиналом, если

1) f(t)=0 при t<0;

2) на каждом отрезке функция f(t) допускает  лишь конечное число особых точек, в которых могут быть лишь разрывы первого рода, в остальных точках  удовлетворяет условию Гельдера:

3)   найдутся  вещественные константы M>0, a  такие, что выполняется неравенство |f(t)|≤  Me^at  для всех  t.

Назовем

функцией Хэвисайда. Она будет оригиналом.  Задавать оригинал аналитическим выражением мы будем только для t≥ 0. Например, оригинал  sin t на самом деле означает функцию равную (sin t)⋅ χ (t), которая совпадает с sin t только при t≥ 0.

Заметим, что из  наличия производной в точке t следует условие Гельдера с  и любой константой , если функция кусочно-дифференцируема и допускает лишь разрывы первого  рода и удовлетворяет условиям 1) и 3), то она будет оригиналом.

Предложение. Оригиналы образуют линейное пространство.

1.1  Изображение оригинала

Изображением  оригинала f(t) назовем комплекснозначную функцию

комплексного переменного z.

Предложение. Изображение аналитично в полуплоскости Re z>a  и .

Интеграл (1) называется преобразованием Лапласа функции f(t). Этот факт будем записывать как Lap(f)=F(z) или f(t) F(z) или F(z) f(t).

Имеем:

2  Формула обращения Лапласа

Теорема. Если функция  является оригиналом и , то в любой точке t, где выполняется условие Гельдера, справедливо равенство

Здесь  -- любое число, большее чем a (f).

В частности

где  -- любое положительное число.

Замечание. Интегралы здесь берутся в смысле главного значения, т.е. как предел интегралов вида  при b→ +∞ .

Следствие. Если  Lap(f)=Lap(g) для оригиналов f и g, то f и g совпадают  во всех точках, где соблюдается условие Гельдера.

3  Свойства преобразования Лапласа

3.1.1  Свойство линейности.

Отображение  Lap линейно:

Как следствие (2), §1  и линейности получаем:

3.1.2  Свойство  подобия.

Если Lap(f(t))=F(z) и , то Lap(f(bt))=1/b F(z/b )

Доказательство.

3.1.3  Дифференцирование оригинала.

Если  оригиналы и , то

f⁽ⁿ⁾(t)   zⁿF(z)-z^n-1f(0)-z^n-2f'(0)-… -f^(n-1)(0)

В частности, если f^(k)(0)=0 при k=0,1,2,… , n-1, то f⁽ⁿ⁾(t)  zⁿF(z).

Доказательство.

3.1.4  Дифференцирование изображения.

Если Lap(f)=F(z), то F⁽ⁿ⁾(z) (-t)ⁿ f(t).

Доказательство.......

Пользуясь этим свойством и исходя из равенства Lap(χ )=1/z, получаем

t^n n!/z^{n+1};     t sin ωt 2zω/(z^2+ω^2)^2;   t cos ωt {z^2-ω^2}/{(z^2+ω^2)^2}

3.1.5  Интегрирование оригинала.

Если f(t)  F(z), то ò _0^t f(s) ds F(z)/z

Доказательство………

3.1.6  Интегрирование изображения.

Если f(t)  F(z) и f(t)/t -- оригинал, то

f(t)/t ò _z^∞  F(ζ ) dζ

где [z,∞ ) -- горизонтальный луч, принадлежащий полуплоскости Re z>a (f).

Доказательство.........

Найдем изображение интегрального синуса

si( t)=ò _0^t sin τ/τ  dτ :

sin t/t ò _z^∞ dζ /{1+ζ^2}=π /2- arctg z, откуда si (t) 1/z(π /2-arctg z)

3.1.7   Запаздывание оригинала.

Если Lap(f)=F(z), то Lap(f(t-t_0))=e^{-t_0z}F(z)

Доказательство.........

Примеры.  1) Изображение ступенчатой функции h(χ (t)+χ (t-τ )+χ (t-2τ )+… )    равной nh, если  есть

2) Периодический прямоугольный импульс

можно записать в виде . Следовательно, по теореме запаздывания

3) Периодический треугольный импульс  по свойству 5 – интегрирование оригинала имеет изображение

3.1.8  Смещение изображения. Если f(t) F(z), то f(t)e^{at} F(z-a).

Пример.  e^{at} sin ωt \frac{ω}{(z-a)^2+ω ^2},  e^{at}cosω  t  frac{z-ω }{(z-a)^2+ω^2}

4  Теоремы умножения

4.1  Свертка

Для двух функций  f и g  обозначим через   их свертку, т.е. функцию такую, что

Предложение А. Свертка оригиналов есть оригинал.

Доказательство…………..

Предложение Б. Свертка симметрична и дистрибутивна по отношению к сложению.

Доказательство…………

 Теорема (Э. Борель) . Если Lap(f)=F(p) и Lap(g)=G(p), то Lap(.

Доказательство.    Изображение свертки есть интеграл  . Это

                                                                  двойной интеграл по области, изображенной на рис.

                                                                    Поменяем пределы интегрирования. Получим

                                                         t                     

Рис. Область интегрирования.                   □

Следствие А. Имеет место гомоморфность

Следствие Б. (интеграл Дюамеля) 

5  Теоремы  разложения