Математика \ Математика

Операционное исчисление. Преобразование Лапласа, страница 2

Первая теорема разложения. Пусть F(z) -- аналитична в бесконечности и равна 0 там. Это значит, что ее разложение в ряд Лорана в бесконечности имеет вид F(z)=∑ _1^∞ c_n/z^n. Тогда

f(t)=∑_0^∞ c_{n+1}/n! t^n

Вторая теорема разложения. Пусть F(p)

1) мероморфна и аналитична в некоторой полуплоскости Re p>;

2) существует система окружностей , на которой F(p) стремится к нулю равномерно относительно arg p;

3) для любого абсолютно сходится интеграл .

Тогда оригиналом F(p) служит функция

где сумма вычетов берется по всем особым точкам функции F(p) в порядке неубывания их модулей.

Следствие. Если -- правильная дробь, то ее оригинал есть

где -- полюсы , а -- их кратности. В частности если все полюсы простые, то

Если в добавок многочлены имеют действительные коэффициенты, то

где первая сумма распространяется на действительные полюсы, а вторая на полюсы с положительными мнимыми частями.

Теорема. Пусть f(t,a ) -- зависит от параметра a. Тогда ∂(Lap(f))/∂a =Lap( ∂f/∂ a).

6 Предельные соотношения

Теорема. Если Lap(f)=F(z), то а) ;

б) (если эти пределы существуют), в) f(0+0)=lim_z_→
∞zF(z).

7 Дельта-функция Дирака

Обозначим через линейное пространство комплекснозначных, бесконечно дифференцируемых функций равных 0 вне какого-либо отрезка.

Определение. Семейство функций назовем дельтообразным при , если

для всякой функции

Пример. 1) -- дельтаобразное семейство. При получаем обобщенную дельта функцию Дирака равную нулю всюду кроме точки 0, где она равна +∞ и интеграл от этой функции по ℝ равен 1. Ее изображение будет 1.

Более точно -- это функция δ (t) имеющая свойство ò_ℝδ (t)f(t) dt=f(0) для любой непрерывной функции . Иными словами дельта функция Дирака есть линейный функционал на пространстве всех функций из полученный как предел линейных функционалов