Лабораторная работа №1
ОСНОВЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ.
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ В MATLAB.
Цель работы:
Задание:
Варианты задания
Построить график стационарного сигнала и с помощью преобразования Фурье определить частотную составляющую:
1.1. Основные теоретические сведения
При изложении основных теоретических сведений использовались работы [Смоленцев, экспонента]
Математические преобразования применяются к сигналу для того, чтобы получить информацию о нем, недоступную в исходном виде. Наиболее популярным преобразованием сигналов, является преобразование Фурье. Теория вейвлетов в основном является продолжением теории преобразовании Фурье. Поэтому для наилучшего понимания для начала познакомимся с преобразованием Фурье.
Большинство сигналов, встречающихся на практике, представлены во временной области. При отображении такого сигнала на графике по оси абсцисс откладывается время, а по оси ординат амплитуда. Дано представление сигнала называется амплитудно-временным представлением сигнала. Для большинства приложений обработки сигнала это представление не является наилучшим. Во многих случаях наиболее значимая информация скрыта в частотной области сигнала. Частотный спектр есть совокупность частотных (спектральных) компонент, он отображает наличие тех или иных частот в сигнале. В таком представлении сигнала, на оси абсцисс будет откладываться частота, а на оси ординат амплитуда.
Частота измеряется в Герцах [Гц], или в числе периодов в секунду.
На рисунке ниже для примера представлены три синусоиды: 10Гц, 45Гц и 75Гц.
рисунок 1. Синусоиды 10Гц, 45Гц и 75Гц.
Введем некоторые обозначения:
Для числовых рядов , будем считать, что
.
Степенные ряды будем
обозначать
, т.е степени могут быть отрицательными.
Для функции будем считать, что
.
Точка называется
точкой прикосновения множества
, если
любая её окрестность имеет непустое пересечение с этим множеством.
Замыканием множества называется совокупность всех точек
прикосновения этого множества.
Носителем
непрерывной функции называется замыкание множества
точек
, в которых
.
Носитель обозначается символом
. Если
находиться на конечном промежутке
, то
называется
функцией с компактным носителем.
Элементарные
гармоники это сигналы вида и
, где
–
амплитуда,
– круговая частота,
– начальная фаза.
Преобразованием
Фурье абсолютно интегрируемой на функции
называется интеграл
(1)
Переменная имеет смысл частоты. Поэтому переход от
к
называют
переходом из пространственной области в частотную.
Обратным преобразованием Фурье называется выражение
(2)
в котором интеграл понимается как несобственный в смысле главного значения.
Для того, чтобы проиллюстрировать действие ПФ на функцию рассмотрим примеры.
Импульс прямоугольной формы это колебание определяемое выражением:
.
Применяя формулу (1), находим спектральную плотность
.
При
, заметим, что это площадь импульса. Этот
вывод распространяется на импульс произвольной формы.
Действительно, из формулы (1) следует , что
Правая часть этого выражения и есть площадь импульса.
рисунок 2. Импульс прямоугольной формы и его спектральная плотность.
Функция вида в анализе сигналов встречается довольно
часто и имеет специальное обозначение:
. Она
называется интегральным синусом или функцией отсчетов.
Дискретный сигнал
– это сигнал, аргумент которого принимает дискретный
ряд значений
. Тогда сигнал есть
последовательность значений
. Значения
называются отсчетами или выборкой.
Дискретизация
непрерывного сигнала – это замена его
выборкой
.
Дискретное преобразование Фурье:
Дискретное
преобразование Фурье позволяет преобразовать N отсчетов
сигнала , в столь ко же спектральных. Для этого
используются формулы:
(3)
(4)
В формулах (3)
и (4) нет реальных моментов времени или частоты, а только номера отсчетов во
временной и частотной областях. Чтобы говорить о временном и частотном
масштабах, необходимо знать, с какой частотой брались отсчеты анализируемого
сигнала. Если последовательность представляет собой отсчеты, взятые с частотой
дискретизации (то есть с интервалом
), то частоты анализа, соответствующие
спектральным отсчетам, полученным в результате вычисления ДПФ, будут
расположены с шагом
.
Первый элемент полученного
вектора соответствует нулевой частоте, последний— частоте .
Замечания:
ü Чтобы расширить полосу анализа, нужно увеличить частоту дискретизации
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.