Основы преобразования Фурье. Преобразование Фурье в matlab

Лабораторная работа №1

ОСНОВЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ.

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ В MATLAB.

Цель работы:

Задание:

Варианты задания

Построить график стационарного сигнала и с помощью преобразования Фурье определить частотную составляющую:

1.1.  Основные теоретические сведения

При изложении основных теоретических сведений использовались работы [Смоленцев, экспонента]

Математические преобразования применяются к сигналу для того, чтобы получить информацию о нем, недоступную в исходном виде. Наиболее популярным преобразованием сигналов, является преобразование Фурье.  Теория вейвлетов в основном является  продолжением теории преобразовании Фурье. Поэтому для наилучшего понимания для начала познакомимся с преобразованием Фурье.

Большинство сигналов, встречающихся на практике, представлены во временной области. При отображении такого сигнала на графике по оси абсцисс откладывается время, а по оси ординат амплитуда. Дано представление сигнала называется амплитудно-временным  представлением сигнала. Для большинства приложений обработки сигнала это представление не является наилучшим. Во многих случаях наиболее значимая информация скрыта в частотной области сигнала. Частотный спектр есть совокупность частотных (спектральных) компонент, он отображает наличие тех или иных частот в сигнале. В таком представлении сигнала, на оси абсцисс будет  откладываться частота, а на оси ординат амплитуда.

Частота измеряется в Герцах [Гц], или в числе периодов в секунду.

На рисунке ниже для примера представлены три синусоиды: 10Гц, 45Гц и 75Гц.

рисунок 1. Синусоиды 10Гц, 45Гц и 75Гц.

Введем некоторые обозначения:

Для числовых рядов   , будем считать, что  .

Степенные ряды будем обозначать  , т.е степени могут быть отрицательными.

Для функции  будем считать, что .

Точка  называется точкой прикосновения множества , если любая её окрестность имеет непустое пересечение с этим множеством.

Замыканием множества называется совокупность всех точек прикосновения этого множества.

Носителем непрерывной функции  называется замыкание множества точек , в которых . Носитель обозначается символом . Если  находиться на конечном промежутке , то  называется функцией с компактным носителем.

Элементарные гармоники это сигналы вида  и , где   – амплитуда,   – круговая частота,  – начальная фаза.

Преобразованием Фурье абсолютно интегрируемой на функции называется интеграл

 (1)

Переменная    имеет смысл частоты. Поэтому переход от  к  называют переходом из пространственной области в частотную.

Обратным преобразованием Фурье называется выражение

   (2)

в котором интеграл понимается как несобственный в смысле главного значения.

Для того, чтобы проиллюстрировать действие ПФ на функцию рассмотрим примеры.

Импульс прямоугольной формы это колебание определяемое выражением:

.

Применяя формулу  (1), находим спектральную плотность

.

При  , заметим, что это площадь импульса. Этот  вывод распространяется на импульс произвольной формы.

Действительно, из формулы (1) следует , что

Правая часть этого выражения и есть площадь импульса.

рисунок 2. Импульс прямоугольной формы  и его спектральная плотность.

Функция вида  в анализе сигналов встречается довольно часто и имеет специальное обозначение:. Она называется интегральным синусом или функцией отсчетов.

Дискретный сигнал – это сигнал, аргумент  которого принимает дискретный ряд значений   . Тогда сигнал есть последовательность значений . Значения  называются отсчетами или выборкой.

Дискретизация непрерывного сигнала  – это замена его выборкой .

Дискретное преобразование Фурье:

Дискретное преобразование Фурье позволяет преобразовать N отсчетов сигнала , в столь ко же спектральных. Для этого используются формулы:

                               (3)

                           (4)

В формулах (3) и (4) нет реальных моментов времени или частоты, а только номера отсчетов во временной и частотной областях. Чтобы говорить о временном и частотном масштабах, необходимо знать, с какой частотой брались отсчеты анализируемого сигнала. Если последовательность  представляет собой отсчеты, взятые с частотой дискретизации  (то есть с интервалом ), то частоты анализа, соответствующие спектральным отсчетам, полученным в результате вычисления ДПФ, будут расположены с шагом  .

Первый элемент полученного вектора соответствует нулевой частоте, последний— частоте .

Замечания:

ü  Чтобы расширить полосу анализа, нужно увеличить частоту дискретизации