Психология \ Педагогическая психология

Личностный подход на уроке математики. Новизна системы, страница 4

Пусть в пр-ве задана прямоугольная с-ма координат Охуz и некоторое тело Т удовлетвор. следующ. условиям: 1. тело Т заключено м-ду плоскостями х=а и х=b

2. при рассечении тела Т пл. перпендикулчр. оси Ох в сечении пои любом  получим квадрируемые плоские сечения Qx

3. S сечения Qx является известной непрерывной ф-ей S(x)  для всех х

4. проекция любых 2-х сечений Qx1 и Qx2 на плоскость перпендикулярную оси Ох оказываются всегда содержащ. одно в другом.

При этих условиях тело Т кубируемое т.е.имеет V который выражается формулой (нужно показать, что V’(х)=S(x)). Пусть точка х из [a,b] выбрана произвольно, построим сечение Qx имеющим площадь S(x). Qx отсекает от тела Т часть V заключено м-ду плоскостями х=а и Qx. V отсекаемой части тела явл. ф-ей абциссы х (, V от а до Qx). V(a)=0 и V(b)=t. С возрастанием х V(x) также возрастает. Док-ем что V’(х)=S(x). Док-во: придадим х произвольное приращение  , такое чтобы, тогда проведём сечение и получим приращение ф-ии , где -объём заключённый м-ду плоскостями Qx и . Поскольку ф-ия S(x) непрерывна на [a;b], то она будет также непрерывна на от-ке , а следовательно по св-ву непрерывн. ф-ий дастигает своего наименьшего и наибольшего значения (m,M). Построим 2 прямые цилиндрического тела с основанием m и M и высотой  . Сравним величины  - ограничена сверху целиндрич. телом с основанием M, снизу-m. Разделим на  получим перейдём в данном нер-ве к lim при . .   

Т.о. по теореме о сжатой переменной т.к. ф-ия S(x) непрерывна, получим что

Что равносильно утверждению V’(х)=S(x). Следовательно V(х) является первообразной ф-ии S(x) на [a,b]

    ч.т.д.

Объём тела вращения

Частным случаем задачи об V тела по S поперечных сечений, является задача об V тела вращения.

Пусть на плоскости Оху задана криволинейная трапеция ограничена непрерывной ф-ей f(x) прямыми х=а и х=b, и осью абсцисс. Тело вращения (Твр) образованное вращением криволинейной трапеции аАBb вокруг оси Ох, так что каждая её точка описывает окружность с центром на оси Ох в пл. перпендикулярной оси вращения называется телом вращения.

Пок-ем, что тело вращения кубируемое и выражается формулой  

1.  Тело вращения (Твр) заключённое между плоскостями х=а и х=b

2.  сечение Qx тело вращения являются круги  (r определяет значение ф-ии f)

3.  S(x) явл. непрерывной на от-ке [a;b] в силу того что ф-ия f непрерывна на этом от-ке по условию

4.  т.к. центры всех сечений Qx лежат на оси Ох, то сечение Qx  есть концентрические круги которые проектируются один в другой поэтому применима формула   ч.т.д.

Н-р: вычислить V части шара, отсечённого плоскостью.

Будем рассматривать шар, тело вращения полученного от вращения круга.

-RAR вращение вокруг оси Ох

Вычисление V пирамиды высотой h и основанием S.

Возьмём с-му координат сначала в точке О, ось Ох пустим по высоте Оу и Оz перпендик. Ох. И воспользуемся фактором, т.к. S сечения пирамиды плоскостью перпендик. высоте  относится как квадрат их расстояний от вершины пирамиды то имеем.

Вычисление V кругового конуса высотой h и  радиуса основания R.

Выберем с-му корд. Oxyz, Ох совпало с высотой радиуса.

Скачать файл