Недостаточность геометрической алгебры как общей математической теории

Недостаточность геометрической алгебры как общей математической теории была особенно подчеркнута выделением класса задач, не поддающихся решению с помощью циркуля и линейки.

Среди таких задач наиболее известны удвоение куба, трисекция угла и квадратура круга.

Задача об удвоении куба, т. е. о построении куба с неизвестным ребром , имеющего объем вдвое больше заданного, сводится к решению кубического уравнения:.

Равносильной задачей является задача построения отрезка прямой длины .  Задача была популярной, о чем говорит дошедшая до нас издревле легенда о требовании оракула на острове Делос увеличить вдвое объем стоящего перед ним кубического жертвенника как условия для прекращения возникшей эпидемии.  Многочисленные попытки решить эту задачу с помощью вычислений в поле рациональных чисел или же методами геометрической алгебры оказались, разумеется, неудачными.

Первого успеха в решении этой задачи добился Гиппократ Хиосский (середина V в. до н.э). Он  свел ее (точнее говоря, не эту, а несколько более общую задачу преобразования параллелепипеда в куб) к задаче о нахождении двух средних пропорциональных. В самом деле, пусть параллелепипед  преобразован в другой того же объема, но с квадратным основанием , что осуществимо средствами геометрической алгебры. Его надо преобразовать в куб без изменения объема: . Ребро искомого куба определяется, по Гиппократу, из пропорции .Вероятно, проблема удвоения куба воспринималась в этом случае как пространственный аналог задачи квадрирования плоских фигур. Постановка задачи по Гиппократу является обобщением соответствующей плоской задачи о вставке одной средней пропорциональной: .

Для решения задачи Гиппократа о вставке двух средних пропорциональных были разработаны различные новые для того времени методы. В большинстве они сводились к изучению геометрических мест: . Две средние пропорциональные между и определялись как координаты точки пересечения двух из этих геометрических мест. Последние в свою очередь получили стереометрическую интерпретацию как сечения конусов вращения.

История задачи об удвоении куба является одним из примеров того, как протекал в древности процесс обогащения математических методов. Именно таким образом конические сечения появились в математике и стали средством решения проблем, которые невозможно решить с помощью циркуля и линейки! Впрочем, для удвоения куба применялись и другие способы. Эратосфен, например, построил прибор (мезолабий), удобный для приближенного решения. Однако ни один из методов не повлиял так сильно на развитие античной математики, как метод конических сечений.

Дальнейшая судьба рассматриваемой задачи связана с решением проблемы: возможно ли вообще решить ее построениями, выполняемыми только циркулем и линейкой. Вместе с развитием алгебры в последующие века задача приобрела алгебраическую форму: может ли операция извлечения кубического корня из рационального числа быть сведена к конечному числу извлечений квадратного корня? Сомнение в возможности такого решения высказал впервые Декарт в 1637 г. Но только лишь еще через 200 лет задача удвоения, куба получила окончательное разрешение. В 1837 г. Ванцель доказал, что кубические иррациональности не входят ни в поле рациональных чисел, ни в те его расширения, что образуются посредством