Аксиоматическая теория. Фундамент аксиоматической теории

Аксиоматическая теория

Аксиоматическая теория состоит из:

1. неопределяемых понятий

2. аксиом, связывающих эти неопределяемые понятия

3. определений и теорем, которые получаются из аксиом(теорем), с помощью логического вывода.

1,2—фундамент аксиоматической теории.

Пример: Теория L.

Неопределяемые понятия

1. точка

2. прямая

3. инцидентность()

1. Каковы бы ни были 2 (.), пр инцидентная им.

2. Каковы бы ни были 2 (.), не более  1 пр инцидентной им.

3. Какова бы ни была пр,  2 (.) инцидентные ей.

4. Существует 3 (.) не инцидентные 1 пр.

Опр:

- пр, кот-ой принадлежит 2 (.), наз-ся короткой.

- 3 (.) не лежащие на 1 пр. назовем

Т: Какой бы ни была пр.  (.)-ка не инцинд. ей.

Модели теорий. Изоморфизм теорий.

М. акс. теор. наз-ся набор конкретных мн-ств с заданными на них конкретными отношениями для кот-рых вып-ся акс. этой теории.

Словарь модели.

Сл. теор.

Сл.модели

Точка

Прямая инцидентность

Пласт. шарик

Спица

Шарик налеплен на спицу

Пров. вып. аксиом.

Опр. 2  м. 1 теор. наз-ся изом. if м/д ними   биекция сохр. все отношения.

Требования, предъявляемые к системам аксиом.

1. Непротиворечивость

Система акс. наз-ся непр-вой if, в ней нельзя вывести утверждение и отрицание этого утверж.

If теор. против. у неё нет модели.(шарик не может быть налеплен и не налеплена спицу)

Для док-ва проти-ти теор. нужно указать противоречие, т.е. 2 прот-х  утвер-я.

Для док-ва непрот-ти нужно построить модель.         

Понятие производной

ф-я  . Тогда разность  назовем приращением аргумента в точке . .

2. Независимость

Акс. наз-ся зависимой if, её можно доказать с помощью др. акс.

Акс-ка зав-ма, if хотя бы одна из акс. зависима.    Чтобы выяснить зав-сть акс-мы, надо вывести её из остальных. Чтобы показать, что акс-ка  независима

- акс. - ост. акс-мы. т.д. - незав.

Расм. 2 акс-ки: 1) 2)

Если они обе не противоречивы, то не может быть зависимой, т.к. во 2-й акс-ке были бы верны и и . Если - зависима её  можно вывести из   во 2 акс-ке есть иив акс-ке 2 противоречивых утвержд.?!

Т.о. если 1 и 2 непротиворечивы, то акс. независима.

3. Полнота

Непротиворечивая, независимая акс-ика наз-ся полной, if к ней нельзя добавить еще одну акс. так, чтобы не нарушить непротиворечивости или независимости.

У полной акс-ти все модели изоморфны. Дейст-но J акс-ка полна и обладает не изом. мод.и.м/д ними нет биекции сохр. отнош. Св-во выполняется в,а вне вып-ся(здесь вып-ся)в одной теории есть   и  .

История 5 постулата.

Аристотель: «Всё должно быть определено и доказано». Евклид воплотил его теорию.Акс.-не требует док-ва,верны для мат-ки вообще. Постулаты - прим-мы только для геом.(5)

V постулат.

Если 2 прям. пересечены 3-й и сумма односторонних -ов, 2-х прямых -ов, то данные прям. .

 - -л=соему смежному.

Проблема E.

Можно ли E вывести из ост. акс. Связана с треб. к акс.  верна ли эта импликация.

1. непротиворечивость. -непрот. -if она непротиворечива E нельзя док-ть из A.

2. независимость. Можно ли вывести из . If из  можно вывести - то он зависимый и наоборот.

3. полнота. If акс-ка  полна, то  можно вывести из , if же -не полна, то  может быть аксиомой.

Эквиваленты E

 –if 2 непер-ся прям. -ны секущей, на н/л -лы =. –Все  хорошие. С-Л хороший  Валис. подобные, но  

Пл. Каковы бы ни были прямая и не лежащая на ней (.), не более  1 прямой прох-щей через данную (.) и не перес-щей данную прям.

Неевклидова геометрия

Лобачевский (1792-1856) 11фев.1826- док. «О вообр. геом.» . Он развил эту теорию до уровня на котором находилась евкл. геом.

Янош Бояи 1832г. «Аппендикс». Бельтрами построил модель «воображаемой геометрии»- «псевдосфера»

Последствия решения

1. В мат-ку пришла идея, что могут существовать разные геометрии.

Геом. Римана, через (.) нельзя провести прям. не перес данную прям.

2. Построение модели Бельтрами показало, что неевкл. геом. могут реализовываться в матер. мире.

3. Активизация математиков по работе над данной проблемой. (Пеано,Паш, Гельберт 1899 «Основания геометрии»)

Аксиоматика Гильберта

1. точка, прямая – элементы множ-в. 2. инцидентность, лежать м/д, конгруэнтность отрезков и -ов. – отношения.

5 групп аксиом

1.  Инцидентности 2. Порядка  3. конгруэнтности 4. непрерывности 5. параллельности

1-4- Абсолютная геометрия         5. в геом Евклида – в геом. Лобачевского-.

Акс. инцидентности (теория L).

Акс. порядка.

1.  

2. Среди 3-х коллинеар. (.)-к не более одной лежит м/д двумя другими.

3.

4. Акс.Паша. if прям. не инц-я ни одной из вершин  -ет одну из сторон во внутренней (.), то она -чет ещё хотя бы одну сторону данного

Акс. конгруэнтности.

1. (об отложении отрезка). Каковы бы ни были отрезок  и луч  ! (.)  такая, что

2. отношение конгруэнтности отрезков есть отношение эквивалентности.

3. If  и при этом , то

4. (об отложении угла) В данную полуплоскость от данного луча можно отложить   конгруентный данному.

5. Акс. = -ков. if  в  и   и , то  и

Акс. непрерывности

1. (Аксиома Архимеда) Каковы бы ни были отрезки существует пос-ть (.)к удовлетворяющая требованиям.

-            - Точки   -

- инцидентна ,  неинц.  

2. Акс. Кантора. if система отрезков такова, что : - , то