Математика \ Математика

Элементы комбинаторики. Теория вероятностей

Страницы работы

8 страниц (Word-файл)

Посмотреть все страницы

Скачать файл

Фрагмент текста работы

Элементы комбинаторики.

С элементами комбинаторики и теории вероятностей учащиеся знакомятся в 9 классе во втором полугодии (4 четверть).

При решении некоторых практических задач часто приходится иметь дело с комбинациями некоторых объектов и подсчитывать число таких всевозможных комбинаций. Такие задачи назовем комбинаторными, а соответствующий раздел математики – комбинаторикой.

2 правила комбинаторики:

п. Если на одной полке стоит 30 книг, а на другой – 40 книг, то одну книгу можно выбрать 70 способами (70 = 30 + 40). Обобщением этого примера является утверждение, называемое правилом суммы. «Если элемент а можно выбрать m способами, а элемент в – n способами, то выбор «а или в» можно сделать (m + n) способами».

На языке теории множеств это правило звучит следующим образом:

Т: Если АÇВ=0, то число элементов в их объединении равно сумме чисел элементов А и В:

n (АÈВ)=n(А)+n(В)

Правило произведения.

п. Пусть существует три кандидата на место командира корабля и два кандидата на место бортинженера. Сколькими способами можно сформировать экипаж корабля, состоящего из командира и бортинженера.

Пр. Пусть из множества А выбирается любой из m элементов и независимо от него из множества В выбирается любой из его n элементов. Тогда и первый и второй элементы могут быть выбраны mn способами.

Т: Если множества А и В конечны, то число всевозможных пар (а, в) аÎА, вÎВ равно произведению чисел элементов этих множеств: N = n (A)×n(В).

Размещения.

Сколькими способами можно выбрать и разместить по k различным местам k из n различных предметов? п. В конкурсе принимают участие 20 человек. Сколькими способами можно присудить I, II и III премии?

20×19×18 = 6840

Определение. Размещениями из N объектов по k называют любой выбор k объектов, взятых в определенном порядке из n объектов.

Число размещений из n объектов по k обозначают .

= n×(n-1)(n-2)…(n-(k-1)).

Определение n!

П. Учащиеся 9 класса изучают 10 предметов. Сколькими способами можно составить расписание уроков на 1 день так, чтобы было 6 различных уроков?

Перестановки.

Если в размещениях рассмотреть случай k=n, то получим размещения, отличающиеся друг от друга только порядком элементов.

Другими словами: Встает вопрос: сколькими способами можно представить n различных предметов, расположенных на n различных местах.

Определение. Размещения из n элементов по n называются перестановками.

(*)

Формула утверждает, что n объектов можно расположить по n местам n! способами.

П. Сколькими способами могут сесть в автомобиль 5 человек, каждый из которых может быть водителем?

способов.

Сочетания.

В размещениях из n элементов по k комбинации отличаются либо набором элементов, либо порядком следования элементов.

Если порядок элементов не существенен, такие комбинации будем называть сочетаниями.

Определение. Сочетаниями из n элементов по k называют любой выбор k объектов из n объектов. Число сочетаний .

Рассмотрим размещения из n элементов по k и объединим в отдельные группы такие комбинации, которые содержат k одинаковых элементов и отличаются друг от друга только порядком этих элементов.

Каждая такая группа содержит выборок.