Для того, чтобы узнать, делится ли на 11 натуральное число, надо разбить десятичную запись этого числа справа налево на группы по две цифры справа (самая левая группа может содержать одну цифру) и сложить все получившиеся числа. Число делится на 11 в том и только в том случае, когда на 11 делится получившаяся сумма.
Для того, чтобы узнать, делится ли на 11 натуральное число,надо сложить отдельно цифры его десятичной записи , стоящие на четных местах и цифры, стоящие на нечетных местахи из большей суммы вычесть меньшую. если полученная разность делится на 11, то и число a делится на 11.
Пример.
237.849.568 = 68 + 95 + 84 + 37 + 2 = 286
286
= 2 + 86 = 88
11 Þ 28611 Þ 237.849.56811
Далее выводится признак делимости на 7 и на 13.
§2. Простые числа.
Здесь учащиеся знакомятся с определением простого числа, разбиением множества N на множества простых, составных чисел и 1.
П.6. Основной закон арифметики натуральных чисел.
Т: Любое натуральное число может быть представлено в виде произведения простых чисел.
Два разложения натурального числа на простые множителя могут отличаться друг от друга лишь порядком множителей.
П.7. Каноническое разложение натурального числа на простые множители.
П.8. Свойства простых чисел.
1. Среди простых чисел нет наибольшего.
2.
Если n – составное
число, то среди его простых делителей есть хотя бы один делитель p
такой, что 
.
Некоторые утверждения до сих пор не доказаны, хотя по своим формулировкам достаточно просты.
Так в 1742 году петербургский академик Христиан Гольдбах высказал предположение, что " четное число можно выразить в виде суммы двух простых чисел (в то время 1 относилась к простым). Оно проверено для достаточно больших чисел на ЭВМ, но не доказано.
В 1937 году Виноградов Иван Матвеевич доказал: любое достаточно большое нечетное число можно представить в виде суммы трех простых нечетных чисел. Из этого утверждения следует, что достаточно большие четные числа можно представить в виде суммы четырех простых чисел.
Советский математик Шнирельман Лев Генрихович доказал: любое натуральное число можно представить в виде суммы достаточно большого числа простых чисел.
Пока не доказано: любое четное число можно представить в виде разности двух простых чисел: 14 = 127 – 113; 20 = 907 – 887.
В П.9. учащиеся знакомятся с неопределенными уравнениями первой степени.
Утверждение: Если целое число с делится на D(а,в), то уравнение ax + вх = с имеет целые решения.
П.10. знакомит учащихся с системами счисления.
П.11. посвящен принципу Дирихле.
№ 120 Доказать, что из 73 различных натуральных чисел можно найти два, разность которых делится на 72.
а1 а2 … а73 различных остатков ненулевых 71, пусть ни одно не делится на 72.
Возможные остатки: 1, 2 … 71 , два числа остались в одной «клетке», то есть они являются равноостаточными. Тогда их разность делится на72.
Если одно число кратно 72, то все равно остаётся два равноостаточных числа.
№ 121 Докажите , что из 100 натуральных чисел можно выбрать несколько, сумма которых делится на 100.
S1 = а остатков 99
S2 = а1+а2 чисел 100
S3 = а1+а2+а3
Sк – Sr = аr+1+ar+2+…+ak100
…
S100 = а1+а2+…+а100
№ 123 Докажите, что для любого натурального числа n найдется делящееся на n число, в десятичной записи которого участвуют только нуль и единица.
Iв.а1 = 1 остатков (n-1)
а2 = 11 аr и аs - равноостаточны а3 = 111 аr = nqr + r
… аs = nqs + r
аn = 
II в. а1 = 10
а2 = 1010 аr – as = 1010…10000…0
а3 = 101010
…
аn = 
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.