Вычислить определитель матрицы 30 x 30/ Пример влияния малых возмущений на численные вычисления

Задание 1  ( 6 ).

Вычислить определитель матрицы 30 x 30:

1  2        0

0  1  2   

A =  

0         1  2

eps          1 

eps = 2^-29.

Эта задача – классический пример влияния малых возмущений на численные вычисления.

Аналитические выкладки показывают, что det(A) = 0, однако, если бы не было возмущения eps (eps = 0), то матрица оказалась бы невырожденной с определителем равным 1.

Проведём численные расчёты:

Для матрицы A результат будет совпадать с аналитическим – det(A) = 0.

Усложним эксперимент – введём дополнительные шумы: изменим каждый элемент матрицы A на delta_ij – произвольные числа, не превосходящие 1.0e-16 – на первом этапе, 1.0e-20 – на втором. Это будет вполне корректной моделью компьютерных погрешностей.

Определители для матриц с дополнительным шумом:

Выводы:

• Современные средства вычислений позволяют поддерживать очень хорошую точность.
• Как видно из приведённых расчетов – даже малое изменение элементов матрицы приводит к серьёзным изменениям определителя.
• Дополнительные расчёты показывают, что на практике тоже можно наблюдать непрерывную зависимость определителя от элементов матрицы и хотя очевидно, что модуль непрерывности очень велик, но всё же зависимость явно прослеживается.

Все расчёты производились при помощи программы MATLABv7.0.1.