Необходимо обработать большой массив экспериментальных данных, состоящий из равноточных значений отсчета

измерений подчиняются нормальному закону распределения вероятности.

3. Проверим гипотезу о соответствии экспериментальных данных нормальному закону распределения вероятности с помощью критерия К. Пирсона. Сведем все полученные значения в таблицу 6.

3.1  При использовании критерия К. Пирсона  χ² за меру расхождения экспериментальных данных с теоретическим законом распределения вероятности принимается сумма квадратов отклонения частей m_i/n от теоретической вероятности P_i попадания отдельного значения результата измерения в i-й интервал, причем каждое слагаемое берется с весовым коэффициентом n/P_i:

3.2  Определим, на сколько S_Q и в каком направлении отстоит от среднего арифметического правая граница Q_i каждого интервала:

Полученные значения параметра t_i внесем в четвертую графу табл.6

3.3  Функцию Лапласа L(t_i) , берем из прил.1 и заносим в пятую графу табл.6

Таблица 6.

i	Интервал	mi	ti	L(ti)	Pi	mi-nPi	(mi-nPi)2/nPi
1	[-∞;481,41]	8	-1,12	-0,3686	0,131	1,824	0,009
2	[481,41;482,41]	7	-0,37	-0,1443	0,224	-3,542	0,060
3	[482,41;483,41]	17	0,37	0,1443	0,289	3,436	0,072
4	[483,41;484,41]	10	1,12	0,3461	0,202	0,515	0,001
5	[484,41;+∞]	5	∞	0,5000	0,154	-2,233	0,016

3.4  Теоретическая вероятность P_i попадания в i-й интервал отдельного значения результата измерения, подчиняется нормальному закону,

P_i = L(t_i) - L(t_i-1)

Принимая во внимание, что L(-∞)= -0,5, а L(+∞)= 0,5, поместим рассчитанные значения P_i в шестую графу табл.6.

3.5 В седьмую и восьмую графу внесены результаты остальных вспомогательных вычислений. Суммирование чисел в восьмой графе дает

χ²=0,159

По графику интегральной функции распределения вероятности К. Пирсона (рис.70):

χ² < χ²₀

Исходя из этого, принимаем гипотезу о том, что результат измерения подчиняется нормальному закону распределения вероятности.

4. Гипотеза о нормальности закона распределения вероятности результата измерения не противоречит экспериментальным данным.

4.1 Определим стандартное отклонение среднего арифметического :

4.2 Выберем доверительную вероятность P=0,95

По рисунку 52 определим t=2,0

4.3 Рассчитаем половину доверительного интервала:

4.4 Запишем результат решения задачи в форме указания интервала, в котором находится числовое значение измеренной физической величины с вероятностью 0,95.

Ответ: интервал [482,53 ; 483,29] в котором находится числовое значение измеренной физической величины Q с выбранной вероятностью равной 0,95

Задача №2.

Необходимо обработать две сравнительно небольшие серии измерений.

Массив экспериментальных данных:

1 серия измерений

483

480

483

482

481

483

486

483

483

484

493

480

481

2 серия измерений

483

483

483

483

484

484

483

482

481

481

483

495

490

Для 1 серии измерений

1.  Исходя из того, что в подавляющем большинстве случаев результат измерения подчиняется нормальному закону распределения вероятности, исключим по правилу трех сигм ошибки, если они есть:

1.1.    Находим среднее арифметическое значение результата 1 серии измерений :  

1.2.   Находим стандартное отклонение результата 1 серии измерений  S_Q, используя вычисления из табл.1   

1.3.    По правилу 3σ находим ошибки: 

-3σ_Q ≤ Q_i ≤ +3σ_Q

483,23-(3*3,37) ≤ Q_i ≤ 483,23+(3*3,37)

473,12≤ Q_i ≤ 493,34

Поскольку все результаты 1 серии измерений находятся в интервале      [473,12…493,34], можно считать, что все ошибки исключены

Таблица 1                                                                            

№п/п	Qi	Qi -	(Qi - )2
1	483	-0,23	0,05
2	480	-3,23	10,44
3	483	-0,23	0,05
4	482	-1,23	1,51
5	481	-2,23	4,98
6	483	-0,23	0,05
7	486	2,77	7,67
8	483	-0,23	0,05
9	483	-0,23	0,05
10	484	0,77	0,59
11	493	9,77	95,44
12	480	-3,23	10,44
13	481	-2,23	4,98
	=483,23		∑= 136,31

2. Проверим с помощью составного критерия справедливость сделанного допущения.

Проверяем выполнение условия

Не соблюдение данного условия достаточно для того, чтобы гипотеза о нормальности закона распределения вероятности результата измерения была отвергнута.

Для 2 серии измерений

1.  Исходя из того, что в подавляющем большинстве случаев результат измерения подчиняется нормальному закону распределения вероятности, исключим по правилу трех сигм ошибки, если они есть:

1.1. Находим среднее арифметическое значение результата 2 серии измерений :  

1.2.   Находим стандартное отклонение результата 2 серии измерений  S_Q, используя вычисления из табл.2   

1.3.    По правилу 3σ находим ошибки: 

-3σ_Q ≤ Q_i ≤ +3σ_Q

484,23-(3*3,92) ≤ Q_i ≤ 484,23+(3*3,92)

472,47 ≤ Q_i ≤ 495,99

Таблица 2                                                                

№п/п	Qi	Qi -	(Qi - )2
1	483	-1,23	1,51
2	483	-1,23	1,51
3	483	-1,23	1,51
4	483	-1,23	1,51
5	484	-0,23	0,05
6	484	-0,23	0,05
7	483	-1,23	1,51
8	482	-2,23	4,98
9	481	-3,23	10,44
10	481	-3,23	10,44
11	483	-1,23	1,51
12	495	10,77	115,98
13	490	5,77	33,28
	=484,23		∑=184,31

Поскольку все результаты 2 серии измерений находятся в интервале