Уважаемые коллеги! Предлагаем вам разработку программного обеспечения под ключ.
Опытные программисты сделают для вас мобильное приложение, нейронную сеть, систему искусственного интеллекта, SaaS-сервис, производственную систему, внедрят или разработают ERP/CRM, запустят стартап.
Сферы - промышленность, ритейл, производственные компании, стартапы, финансы и другие направления.
Языки программирования: Java, PHP, Ruby, C++, .NET, Python, Go, Kotlin, Swift, React Native, Flutter и многие другие.
Всегда на связи. Соблюдаем сроки. Предложим адекватную конкурентную цену.
Заходите к нам на сайт и пишите, с удовольствием вам во всем поможем.
Лекция 1
1.1. Определение. Разновидности матриц.
Матрицей размерности mхn называется прямоугольная таблица чисел, состоящая из m строк и n столбцов. Матрицы обозначим заглавными буквами с «шапкой»: (…):
(матрицы иногда указываются символом или )
Числа , из которых состоит матрица, называются матричными элементами матрицы, причем первый индекс указывает номер строки, второй – номер столбца.
Иногда будем пользоваться обозначением:
Две матрицы одинаковой размерности равны, если равны соответствующие матричные элементы:
Квадратной называется матрица, у которой m=n.
Матрица-столбец – это матрица размерностью mх1.
Удобно обозначать матрицы-столбцы заглавными буквами …, с перевернутой «шапкой» сверху:
Матрица-строка - это матрица размерности 1хn.
Такие матрицы удобно обозначать так: .
В дальнейшем матрицами-столбцами или матрицами-строками будем обозначать векторы (в конкретном базисе).
Пусть - квадратная матрица nxn. Диагональными элементами называются элементы . Они образуют главную диагональ. Элементы - образуют побочную диагональ
Диагональной называется матрица, у которой все недиагональные элементы равны нулю, и не все диагональные элементы равны нулю:
Единичной называется диагональная матрица, у которой все диагональные элементы равны единице. Единичную матрицу обычно обозначают буквами .
Введем понятие символа Кронекера :
(1.1)
Тогда матричные элементы единичной матрицы можно представить в виде:
(1.2)
а матричные элементы диагональной матрицы
(1.3)
Очевидно, что:
Нулевой называется матрица , у которой все матричные элементы равны нулю. ()
Транспонированной по отношению к называется матрица , элементы которой определяются следующим образом:
(1.4)
Фактически получается из , если все строки в заменим столбцами и наоборот. Наглядно, транспонированная матрица получается из исходной, вращением на 180 градусов вокруг главной диагонали, или путем «зеркального отображения» относительно главной диагонали.
Если =, т.е. , то матрица называется симметричной.
1.2. Действия над матрицами.
Выше мы рассмотрели разные таблицы чисел. По существу, эти таблицы становятся математическими объектами (матрицами), если определены следующие действия (композиции) над ними:
1.2. а) Сложение матриц
Пусть и - матрицы одинаковой размерности mxn.
Суммой + матриц и называется матрица с матричными элементами
(1.5)
В частности - переместительность,
( - сочетательность
1.2. б) Умножение матрицы на число
Пусть - произвольная матрица mxn, а - произвольное вещественное число. тогда . Новая матрица с матричными элементами
, (1.6)
т.е. при умножении матрицы на число все матричные элементы следует умножить на это число. Нетрудно убедиться, что
; ,
Очевидно, что ,
1.2. в) Произведение матриц
Пусть - матрица размерности mxk, а - матрица размерности kxn. Произведением х матриц и (в указанном порядке) называется матрица с матричными элементами:
(1.7)
Как видно из определения произведения матриц, при существовании , произведение может не существовать. Если и - квадратные матрицы одинаковой размерности, то существуют произведения и . Но в общем случае
.
Если , то матрицы и называются коммутативными.
Справедливы следующие утверждения для квадратных матриц:
,
, (1.8)
,
Приведем доказательство последнего свойства. Имеем:
Пусть - матрица размерности nxn, - единичная матрица такой же размерности. Нетрудно убедиться, что
(1.9)
Действительно:
В последней сумме, согласно определению (1.1), все слагаемые равны нулю, кроме одного, когда , т.е.
В частности .
Естественно, можно определить степень матрицы , где .
Например, ; .
1.2. г) Обратная матрица
Пусть - квадратная матрица nxn. Обратной по отношению к называется матрица , которая обладает следующими свойствами:
(1.10)
В дальнейшем матричные элементы матрицы обозначим
Следует запомнить, что , т.е. не обратное по отношению , это всего лишь обозначение элементов матрицы .
Из определения (1.10) следует:
.
С учетом (1.7) имеем:
Уважаемые коллеги! Предлагаем вам разработку программного обеспечения под ключ.
Опытные программисты сделают для вас мобильное приложение, нейронную сеть, систему искусственного интеллекта, SaaS-сервис, производственную систему, внедрят или разработают ERP/CRM, запустят стартап.
Сферы - промышленность, ритейл, производственные компании, стартапы, финансы и другие направления.
Языки программирования: Java, PHP, Ruby, C++, .NET, Python, Go, Kotlin, Swift, React Native, Flutter и многие другие.
Всегда на связи. Соблюдаем сроки. Предложим адекватную конкурентную цену.
Заходите к нам на сайт и пишите, с удовольствием вам во всем поможем.
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.