Определение. Разновидности матриц. Квадратная матрица и матрица столбец

Лекция 1

1. МАТРИЦЫ

1.1.  Определение. Разновидности матриц.

Матрицей размерности mхn называется прямоугольная таблица чисел, состоящая из m строк и n столбцов. Матрицы обозначим заглавными буквами с «шапкой»: (…):

(матрицы иногда указываются символом  или )

Числа ,  из которых состоит матрица, называются матричными элементами матрицы, причем первый индекс указывает номер строки, второй – номер столбца.

Иногда будем пользоваться обозначением:

Две матрицы одинаковой размерности равны, если равны соответствующие матричные элементы:

Квадратной называется матрица, у которой m=n.

Матрица-столбец – это матрица размерностью mх1.

Удобно обозначать матрицы-столбцы заглавными буквами …, с перевернутой «шапкой» сверху:

Матрица-строка  -  это матрица размерности 1хn.

Такие матрицы удобно обозначать так: .

В дальнейшем матрицами-столбцами или матрицами-строками будем обозначать векторы (в конкретном базисе). 

Пусть - квадратная матрица nxn. Диагональными элементами называются элементы . Они образуют главную диагональ.  Элементы - образуют побочную диагональ

Диагональной называется матрица, у которой все недиагональные элементы равны нулю, и не все диагональные элементы равны нулю:

Единичной называется диагональная матрица, у которой все диагональные элементы равны единице. Единичную матрицу обычно обозначают буквами .

Введем понятие символа Кронекера :

                                                (1.1)

Тогда матричные элементы единичной матрицы можно представить в виде:

                                                              (1.2)

а матричные элементы диагональной матрицы

                                                 (1.3)

Очевидно, что:  

Нулевой называется матрица , у которой все матричные элементы равны нулю. ()

Транспонированной по отношению к  называется матрица , элементы которой определяются следующим образом:

                                                     (1.4)

Фактически   получается из , если все строки в заменим столбцами и наоборот. Наглядно, транспонированная матрица получается из исходной, вращением на 180  градусов вокруг главной диагонали, или путем «зеркального отображения» относительно главной диагонали.

Если =, т.е.  , то матрица называется симметричной.

1.2.  Действия над матрицами.

Выше мы рассмотрели разные таблицы чисел. По существу, эти таблицы становятся математическими объектами (матрицами), если определены следующие действия (композиции) над ними:

1.2. а) Сложение  матриц

Пусть и  - матрицы одинаковой размерности mxn.

Суммой  + матриц и  называется матрица с матричными элементами

                                               (1.5)

В частности  - переместительность,

( - сочетательность

1.2. б) Умножение матрицы на число

Пусть  - произвольная матрица   mxn, а  - произвольное вещественное число. тогда . Новая матрица с матричными элементами

 ,                                                    (1.6)

т.е. при умножении матрицы на число все матричные элементы следует умножить на это число. Нетрудно убедиться, что

;    ,  

Очевидно, что ,   

1.2.   в) Произведение матриц

Пусть  - матрица размерности mxk, а  - матрица размерности kxn. Произведением  х матриц и  (в указанном порядке) называется матрица  с матричными элементами:

                                 (1.7)

Как видно из определения произведения матриц, при существовании ,  произведение   может не существовать. Если и   - квадратные матрицы одинаковой размерности, то существуют произведения    и  . Но в общем случае

 .

Если    , то матрицы и   называются коммутативными.

Справедливы следующие утверждения для квадратных матриц:

,

,                                                                                                                       (1.8)

,

Приведем доказательство последнего свойства. Имеем:

Пусть  - матрица размерности nxn,  - единичная матрица такой же размерности. Нетрудно убедиться, что

                                                    (1.9)

Действительно:

В последней сумме, согласно определению   (1.1), все слагаемые равны нулю, кроме одного, когда  , т.е.

В частности .  

Естественно, можно определить степень матрицы , где .

Например,   ;        .

1.2. г) Обратная матрица

Пусть  - квадратная матрица  nxn. Обратной по отношению к  называется матрица , которая обладает  следующими свойствами:

                                                        (1.10)

В дальнейшем матричные элементы матрицы  обозначим

Следует запомнить, что , т.е.   не обратное по отношению , это всего лишь обозначение элементов матрицы  .

Из определения (1.10) следует:

.

С учетом (1.7) имеем: