Аналитическая геометрия, дифференциальное исчисление функций одной переменной

длины вектора  на косинус угла  между направлением вектора и направлением оси:                       

.

Если угол  – острый, то , если  – тупой , то .

Определение. Координатами вектора  называются проекции этого вектора на координатные оси  Пишут , где

.

Если – углы вектора  с осями координат

(рис. 2.4), то

   и

, где .

сos  называются направляющими косинусами вектора .

                                                   z

 

γ                      

β

                                                                                        y

α

Рис. 2.4

х

2.3. Скалярное, векторное и смешанное произведение векторов

Таблица 2.1

Название	Определение, свойства, формулы	Рисунки, комментарии
Скалярное произведение Векторное произведение Смешанное произведение	Скалярным произведением векторов  и называется число, равное произведению их модулей на косинус угла между ними:  . Свойства скалярного произведения: 1. . 2. . 3. . 4.   Скалярное произведение единичных векторов (ортов) (рис. 2.6) удовлетворяет равенствам: Если и то Угол между векторами и  определяется по формуле: Условие коллинеарности векторов и : Условие перпендикулярности векторов и Механический смысл скалярного произведения. Работа А постоянной силы , произведённая этой силой при перемещении тела по пути , определяемом вектором , вычисляется по формуле Векторным произведением векторов  и называется вектор , обозначаемый , который удовлетворяет следующим трём условиям: 1. 2. ^, ^ 3. образуют правую тройку. Свойства векторного произведения: 1.; 2.; 3.; 4.. Если и , то векторное произведение . Геометрический смысл векторного произведения. Площадь параллелограмма , где S – площадь параллелограмма, построенного на векторах  и , имеющих общее начало в точке О (рис. 2.8). Механический смысл векторного произведения. Вращающий момент силы , приложенной к точке В тела, закреплённого в точке А вычисляется по формуле Смешанным произведением векторов , ,называется число, которое вычисляется по формуле Свойства смешанного произведения 1. 2. 3. – компланарны  . Если   , то . Геометрический смысл смешанного произведения. Объём параллелепипеда построенного на векторах , ,равен:	0         Рис. 2.5 Из рис. 2.5 видно, что , Поэтому z                    y х                    Рис. 2.6 Рис. 2.7 правая тройка векторов т. е. при наблюдении из конца вектора  кратчайший поворот от  к  происходит против часовой стрелки. (см. рис. 2.7) О Рис. 2.8 Площадь треугольника . Рис. 2.9 Рис. 2.10 Объём пирамиды

Пример. Найти проекцию вектора  на направление вектора .

Решение. Для нахождения проекции используем формулу

  .

Векторы заданы координатами, следовательно, скалярное произведение находится по формуле:

.

Для нахождения длины вектора  используем формулу

.

Значит .

Пример. Дан треугольник с вершинами , , . Найти длину вектора  и величину угла .

Решение. Находим координаты вектора :

 .

Тогда

.

Для нахождения величины угла С необходимо составить векторы  и :

=, =.

Тогда

.

.

Пример. Вычислить площадь треугольника с вершинами

, , .

Решение. Находим координаты вектора  и :

, .

Вычислим векторное произведение

=

.

Воспользуемся формулой нахождения площади треугольника построенного на векторах  и :

.

Пример. Точка  твердого тела закреплена. В точке  приложена сила . Найти момент силы относительно точки .

Решение. Вектор  имеет координаты . Вращающий момент находим по формуле:

.

Пример. Вычислить объём пирамиды с вершинами

, , , .

Решение. Находим вектора  ,

, .

Вычислим смешанное произведение этих векторов:

=

.

Объём пирамиды вычисляется по формуле

|| = .

РазделIII. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

3.1. Простейшие формулы аналитической геометрии

Таблица 3.1

№ п/п	Схематический чертеж	Формулы	Комментарии
1	y                       B A 0                   x		Расстояние между двумя точками А(xA, yA) и  В(xВ, yВ)
2	y                    B C         A 0                   x		Деление отрезка в заданном отношении (λ = AC/CB)
3	y                   B        С      A 0               х		Деление отрезка пополам (λ = 1)
4	y     y1            М b     01             x1     0    а                 х		Преобразования координат при параллельном переносе

3.2. Прямая на плоскости

Таблица 3.2

№ п/п	Схематический чертеж	Формулы	Комментарии
1	y α      b 0                        x		Уравнение прямой с угловым коэффициентом (k)
2	y М0(x0, y0)        0                        x		Уравнение прямой, проходящей через заданную точку М0(x0, y0) в заданном  направлении (k)
3	y М2(x2, y2)            М1(x1, y1) 0                          x		Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки М1 и М2.
4	y     b 0                        x a		Уравнение прямой в отрезках на осях
5	у 0                        x		Общее уравнение прямой

Таблица 3.3

№ п/п	Схематический чертеж	Формулы	Комментарии
1	y     l1            l2         φ                     α          β 0                       x		Угол между двумя прямыми, k1, k 2 – угловые коэффициенты прямых: l1: A1x+ B1y+ C1 = 0 l2: A2x + B2y + C2 = 0
2	y l1     l2        0                       x		Условие параллельности двух прямых l1: A1x+ B1y+ C1 = 0 l2: A2x + B2y + C2 = 0
3	y         l1                   l2 0                      x		Условие перпендикулярности двух прямых l1: A1x + B1y + C1 = 0 l2: A2x + B2y + C2 = 0
4	y  М0 l              d 0                   x		Расстояние от точки М0 (x0, y0) до прямой l: Ax+ By+ C = 0
5	y B A 0  x		Угловой коэффициент прямой, проходящей через две заданные точки А(xА, yА), В(xВ, yВ)

Пример. Даны вершины треугольника А(– 3; 0), В(4; 2), С(2; –2).

Найти: 1) уравнение стороны АВ; 2) величину угла А; 3) уравнение медианы АМ; 4) уравнение прямой, проходящей через вершину С параллельно стороне АВ; 5) расстояние от точки С до прямой АВ.

Решение. Выберем прямоугольную систему координат и построим треугольник АВС по координатам его вершин.

                           y

                                  2

                                                               В

3

                   А                                   М   4                            х

 

                                l      -2     С

1) Воспользуемся уравнением прямой, проходящей через две точки (см. таблицу 3.2, формула 3), получим уравнение стороны АВ:

.

2) Для вычисления ÐА найдём угловые коэффициенты прямых AВ и АС с помощью формулы 5 из таблицы 3.2.

Воспользуемся теперь формулой 1 из таблицы 3.3 для вычисления угла между двумя прямыми. Угол А отсчитывается в положительном направлении, поэтому

.

3) Медиана треугольника – это отрезок прямой, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.  Пользуясь формулой деления отрезка пополам, находим середину ВС:

Медиана проходит через две точки А(–3, 0) и М(3, 0), то для записи её уравнения воспользуемся формулой 3 таблицы 3.2.

4) Для составления уравнения прямой l, которая проходит через точку С используем тот факт, что её угловой коэффициент равен угловому коэффициенту прямой АВ, т. к. прямые параллельны.

Уравнение прямой АВ, мы уже знаем: . Найдем угловой коэффициент этой прямой, для этого выполним преобразования:

.

Подставив в формулу 2 таблицы 3.2 координаты точки С и угловой коэффициент , получим

.

5) Для нахождения расстояния от точки С(2, – 2) до прямой АВ:  воспользуемся формулой 4 из таблицы 3.3:

В нашем случаи, , , следовательно,

3.3. Плоскость и прямая в пространстве

Таблица 3.4

№ п/п	Схематический чертеж	Формулы				Комментарии
1	2	3				4
1	z   0                у x					Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку  М0(x0, y0, z0) - перпендикулярно заданному вектору
2	z 0        y х					Общее уравнение плоскости
3	z                         M2 M1 M3 0           y x					Уравнение плоскости проходящей через три точки М1(x1, y1, z1), М2(x2, y2,  z2), М3(x3, y3, z3)
1	2	3				4
4	z 0                                       y x					Уравнение плоскости в отрезках на осях, где a, b, c – величины отрезков, отсекаемых плоскостью на координатных осях
5	z  0              y x					Угол между двумя плоскостями
6	z 0             y x					Условие параллельности двух плоскостей
7	z 0             y x					Условие перпендикулярности двух плоскостей
1	2	3		4
8	z                          М0   0              y x			Расстояние от точки М0(x0, y0,  z0)  до плоскости
9	z  М0(x0, y0, z0) 0               y x			Канонические уравнения прямой. x0, y0, z0 – координаты точки, через которую проходит прямая; m, n, p – координаты направляющего вектора
10	z  М0(x0,y0, z0) 0              y x			Параметрические уравнения прямой. x0, y0, z0 – координаты точки, через которую проходит прямая; m, n, p – координаты направляющего вектора , t – параметр
11	z 0  y х			Общие уравнения  прямой.
1	2		3		4
12	z                В        А 0               y x				Уравнения прямой, проходящей через две данные точки А(x1, y1, z1), В(x2, y2, z2)
13	z                          0               y x				Угол между двумя прямыми
14	z 0               y x				Условие перпендикулярности двух прямых
15	z l1 l2 0               y x				Условие параллельности двух прямых

Пример.Составить уравнение плоскости, проходящей через точку А(1, 3, 1) и имеющую нормальный вектор .

Решение.Воспользуемся формулой 1 таблицы 3.4.

В нашем случае, координаты точки, принадлежащей плоскости, равны , а координаты вектора =

=.  Значит общее уравнение плоскости имеет вид:

  .

Пример.Составить уравнение плоскости, проходящей через точку А(2, 4, – 1) и отсекающую на осях координат равные положительные отрезки.

Решение.Воспользуемся формулой 4 из таблицы 3.4, в нашем случае она будет иметь вид .

Т. к. точка А принадлежит нашей плоскости, то можно записать

.

Решая это уравнение находим, что . Следовательно, уравнение плоскости имеет вид:           .

Пример.Составить уравнения прямой, проходящей через точки А(3, 4, – 1), В(4, 2, 0).

Решение.Воспользуемся формулой 12 таблицы 3.4.

Пример. Составить параметрические уравнения прямой, проходящей через точку  параллельно вектору .

Решение. Используя формулу 10 из таблицы 3.4, получим требуемые праметрические уравнения прямой

Пример.Найти точку пересечения прямой  с плоскостью

Решение. Представим уравнения прямой в параметрическом виде:

Откуда

Подставляя последнии три уравнения в уравнение плоскости вместо  и , получим  значение параметра t:

Подставив это значение параметра в параметрические уравнения прямой, получим координаты точки пересечения прямой и плоскости:                   

3.4. Перечень основных линий 2-го порядка

Таблица 3.5

№ п/п	Схематический чертеж	Каноническое уравнение	Название линии, комментарии
1	y                               х		Окружность R – радиус окружности; C(а, b) – центр окружности
2	y           В                             А                               x		Эллипс a – длина большой полуоси, b – длина малой полуоси.  и  – фокусы эллипса. , – эксцентриситет эллипса
3	y                               x		Гипербола а – длина действительной полуоси; b – длина мнимой полуоси.  и  – фокусы , – асимптоты гиперболы – эксцетриситет.
4	y                               x            у                               х		Парабола р, q – параметр параболы –директриса параболы , её фокус .  – директриса параболы , её фокус

Пример.Исследовать, какая линия определяется уравнением

Решение.Соберём члены, содержащие одну и ту же переменную, и из первой скобки вынесем коэффициент при , а из второй скобки вынесем коэффициент при y², после чего уравнение примет вид

В каждой из скобок выделим полный квадрат

или .

Сделав замену: и разделив обе части уравнения на 20 получим каноническое уравнение:

Заданное уравнение определяет эллипс с полуосями

центр которого находится  в точке О₁(– 2, 1).

С помощью параллельного переноса переносим оси координат в новое начало в точку О₁(– 2, 1). В новой системе координат строим основной прямоугольник со сторонами  стороны которого параллельны новым осям координат, а центр находится в точке О₁.

Вписываем в него эллипс.

                                                      y₁

                                                                              y

 

x₁

·  х

Рис. 3.1

3.5. Перечень поверхностей 2-го порядка.

Таблица 3.6

№ п/п	Схематический чертеж	Название поверхностей и их канонические уравнения
1		Эллипсоид
2		Однополостный гиперболоид
3		Двуполостный гиперболоид
		Конус 2-го порядка
		Эллиптический параболоид
		Гиперболический параболоид
		Эллиптический цилиндр
		Гиперболический цилиндр
		Параболический цилиндр

Раздел IV. Дифференциальное исчисление функциЙ одной переменной

4.1. Определение функции и способы задания функций

Определение. Если каждому значению хÎ D Ì R ставится в соответствие единственное значение yÎ Е Ì R, то говорят, что на множестве D определена функция y=f(x).

x – независимая переменная или аргумент функции,

y –  зависимая переменная или функция.

Определение. Множество D называется областью определения функции, а множество Е называется областью изменения или областью значений функции y= f (x).

Эти области могут представлять собою отдельные точки числовой прямой, отрезки, интервалы этой прямой, множество всех действительных чисел.

 Способы задания функции

– табличный,

– графический,

– аналитический (с помощью формул).

Определение. Графиком функции называется множество точек плоскости, абсциссы которых есть значения независимой переменной, а ординаты равны соответствующим значениям функции.  Для  функции,  заданной аналитически,  т. е. уравнением

y= f (x), под графиком понимают множество точек М(x, y) плоскости, координаты которых удовлетворяют уравнению y= f (x).

Например, уравнение y = (x– 0,5)² задает функцию, графиком которой является парабола (рис. 4.1).

                               y

                         

0  0,5                 x

Рис. 4.1

Функция, заданная аналитически уравнением y = f (x), определена в точке x = x₀, если возможно вычислить y₀ = f (x₀). Множество таких точек образует область определения функции.

Пример. Найти область определения функции y = .

Решение. Так как арифметический корень определен, когда x² – – 9 ³ 0, то данная функция определена при x£ – 3 или x³ 3.  Областью определения данной функции будет множество

xÎ D = (– ¥; – 3] È [ 3; + ¥).

4.2.Классификация функций

Определение.        Основными элементарными функциями называют функции:1. y= x^a , aÎ R – степенная;

2. y  = a^x , a > 0, a≠ 1 – показательная;

3. y = log_a x, a > 0, a ≠ 1 – логарифмическая;

4. y = sinx,  y = cosx,   y = tgx ,   y = ctgx – тригонометрические;

5. y = arcsinx,  y = arccosx,  y = arctgx,  y = arcctgx  обратные тригонометрические функции.

Определение. Функция, заданная последовательной цепью нескольких функций (y= f (u), где u= φ(x)), называется сложной функцией. Например, функция  сложная и она может быть представлена следующей цепью основных элементарных функций:

y = z³, z = lg u, .

Определение. Функции, образованные из основных элементарных функций посредством конечного числа алгебраических операций или взятия функции от функции, называются элементарными. Все остальные функции называются неэлементарными. Примером неэлементарной функции может служить функция вида

у = 1 + x+ x² + … + xⁿ + …

Определение.       Неявной называют функцию, которая задана уравнением вида F(x, y) = 0 неразрешенным относительно функции у.

Например, уравнение  задает неявную функцию у аргумента х.

Определение. Если уравнение y = f (x) может быть однозначно разрешено относительно переменной x, т. е. существует функция

x = φ(y), такая что y = f (φ(y)), то функция x = φ(y), или в стандартных обозначениях y = φ(x), называется обратной по отношению к функции y = f (x). Очевидно, что функция y = f (x) обратная по отношению к функции  y = φ(x).

Например, для функции y = 2^x обратной функцией является функция x = log₂ y, или в стандартной форме y = log₂ x.

Графики взаимно обратных функций симметричны относительно биссектрисы первого и третьего координатных углов.

Определение. Функция называется чётной, если , и нечётной, если , а область определения симметрична относительно начала координат.

График, четной функции симметричен относительно оси Оу, нечётной – относительно начала координат.

Определение. Функция у = называется периодической с периодом Т, если .

Определение. Функция у = называется ограниченной на множестве Х, если существует число М> 0 такое, что для всех хÎ Х выполняется неравенство | f (x) |  < М.

Например,  = sinx ограничена на R, так как для всех хÎR | f (x) | < 1, а функция  ограничена для всех x Î R, так как в этой области | f (x) | £ 2.

4.3. Предел функции

Определение. Число A называется пределом функции y= f (x) в точке x = x₀, если для любого >0 существует  такое, что при | x – x₀ | < δ выполняется неравенство | f (x) – A | < . Это кратко записывается в виде A = .

Если A есть предел f(x) в точке x₀, то на графике это иллюстрируется следующим образом. Так как из неравенства | x– x₀ | < δ следует неравенство| f (x) – A | < , то это значит, что для всех x, отстоящих от x₀ не далее чем на δ, точка M графика функции y = f (x) лежит внутри полосы шириной 2, ограниченной прямыми у=A–  и y = A+ . Очевидно, что с уменьшением  величина δ также уменьшается (см. рис. 4.2).             

y

        А + e   

                                                  M

            А                                                    2ε

       А – e

                    0                     х - d  х₀  х + d                    x

Рис. 4.2

Определение. Предел  называется пределом слева данной функции в точке x = x₀, а предел  называется пределом справа данной функции (см. рис. 4.3).

                                               

                      y

 

f(x₀ + 0)

f(x₀-0)

 

0                      x₀                               x

 

 

Рис. 4.3

Определение. Число A называется пределом функции y = f(x), в точке x = ± ¥, если для любого  > 0 существует число