Аналитическая геометрия, дифференциальное исчисление функций одной переменной

Страницы работы

Уважаемые коллеги! Предлагаем вам разработку программного обеспечения под ключ.

Опытные программисты сделают для вас мобильное приложение, нейронную сеть, систему искусственного интеллекта, SaaS-сервис, производственную систему, внедрят или разработают ERP/CRM, запустят стартап.

Сферы - промышленность, ритейл, производственные компании, стартапы, финансы и другие направления.

Языки программирования: Java, PHP, Ruby, C++, .NET, Python, Go, Kotlin, Swift, React Native, Flutter и многие другие.

Всегда на связи. Соблюдаем сроки. Предложим адекватную конкурентную цену.

Заходите к нам на сайт и пишите, с удовольствием вам во всем поможем.

Фрагмент текста работы

длины вектора  на косинус угла  между направлением вектора и направлением оси:                       

.

Если угол  – острый, то , если  – тупой , то .

Определение. Координатами вектора  называются проекции этого вектора на координатные оси  Пишут , где

.

Если – углы вектора  с осями координат

(рис. 2.4), то

   и

, где .

сos  называются направляющими косинусами вектора .

                                                   z

 


γ                      

β

                                                                                        y

α

Рис. 2.4

х

2.3. Скалярное, векторное и смешанное произведение векторов

Таблица 2.1

Название

Определение, свойства, формулы

Рисунки, комментарии

Скалярное произведение


Векторное

произведение

Овал:    А


Смешанное произведение

Скалярным произведением векторов  и называется число, равное произведению их модулей на косинус угла между ними:

 .

Свойства скалярного произведения:

1. .

2. .

3. .

4.  

Скалярное произведение единичных векторов (ортов) (рис. 2.6) удовлетворяет равенствам:

Если и

то

Угол между векторами и  определяется по формуле:

Условие коллинеарности векторов

и :

Условие перпендикулярности векторов

и

Механический смысл скалярного произведения.

Работа А постоянной силы , произведённая этой силой при перемещении тела по пути , определяемом вектором , вычисляется по формуле

Векторным произведением векторов  и называется вектор , обозначаемый , который удовлетворяет следующим трём условиям:

1.

2. ^, ^

3. образуют правую тройку.

Свойства векторного произведения:

1.;

2.;

3.;

4..

Если и , то векторное произведение

.

Геометрический смысл векторного произведения.

Площадь параллелограмма

, где Sплощадь параллелограмма, построенного на векторах  и , имеющих общее начало в точке О (рис. 2.8).

Механический смысл векторного произведения.

Вращающий момент силы , приложенной к точке В тела, закреплённого в точке А вычисляется по формуле

Смешанным произведением векторов , ,называется число, которое вычисляется по формуле

Свойства смешанного произведения

1.

2.

3. – компланарны 

.

Если  

, то

.

Геометрический смысл смешанного произведения.

Объём параллелепипеда построенного на векторах , ,равен:

0        

Рис. 2.5

Из рис. 2.5 видно, что ,

Поэтому

z

       

           y

х                   

Рис. 2.6

Рис. 2.7

правая тройка векторов т. е. при наблюдении из конца вектора  кратчайший поворот от  к  происходит против часовой стрелки.

(см. рис. 2.7)

О

Рис. 2.8

Площадь треугольника

.

Рис. 2.9

Рис. 2.10

Объём пирамиды

Пример. Найти проекцию вектора  на направление вектора .

Решение. Для нахождения проекции используем формулу

  .

Векторы заданы координатами, следовательно, скалярное произведение находится по формуле:

.

Для нахождения длины вектора  используем формулу

.

Значит .

Пример. Дан треугольник с вершинами , , . Найти длину вектора  и величину угла .

Решение. Находим координаты вектора :

 .

Тогда

.

Для нахождения величины угла С необходимо составить векторы  и :

=, =.

Тогда

.

.

Пример. Вычислить площадь треугольника с вершинами

, , .

Решение. Находим координаты вектора  и :

, .

Вычислим векторное произведение

=

.

Воспользуемся формулой нахождения площади треугольника построенного на векторах  и :

.

Пример. Точка  твердого тела закреплена. В точке  приложена сила . Найти момент силы относительно точки .

Решение. Вектор  имеет координаты . Вращающий момент находим по формуле:

.

Пример. Вычислить объём пирамиды с вершинами

, , , .

Решение. Находим вектора  ,

, .

Вычислим смешанное произведение этих векторов:

=

.

Объём пирамиды вычисляется по формуле

|| = .

РазделIII. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

3.1. Простейшие формулы аналитической геометрии

Таблица 3.1

п/п

Схематический

чертеж

Формулы

Комментарии

1

    y

                      B

A

0                   x

Расстояние между двумя

точками

А(xA, yA) и

 В(xВ, yВ)

2

    y

                   B

C

        A

0                   x

Деление отрезка в заданном отношении

(λ = AC/CB)

3

y                   B

       С

     A

0               х

Деление отрезка пополам

(λ = 1)

4

y     y1            М

b     01             x1

 

 

0    а                 х              

Преобразования координат при параллельном переносе

3.2. Прямая на плоскости

Таблица 3.2

п/п

Схематический

чертеж

Формулы

Комментарии

1

    y

α      b

0                        x

Уравнение прямой с угловым коэффициентом

(k)

2

    y

М0(x0, y0)

       0                        x 

Уравнение прямой, проходящей через заданную точку М0(x0, y0) в заданном  направлении (k)

3

y

М2(x2, y2)

           М1(x1, y1)

0                          x

Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки М1 и М2.

4

   b

0                        x

a

Уравнение прямой в отрезках на осях

5

у

0                        x

Общее уравнение прямой

Таблица 3.3

п/п

Схематический

чертеж

Формулы

Комментарии

1

    y     l1            l2

        φ                    

α          β

0                       x

Угол между двумя прямыми, k1, k 2 – угловые коэффициенты прямых:

l1: A1x+ B1y+ C1 = 0

l2: A2x + B2y + C2 = 0

2

    y

l1     l2       

0                       x

Условие параллельности двух прямых

l1: A1x+ B1y+ C1 = 0

l2: A2x + B2y + C2 = 0

3

y         l1                   l2

0                      x

Условие перпендикулярности двух прямых

l1: A1x + B1y + C1 = 0

l2: A2x + B2y + C2 = 0

4

М0

l              d

0                   x             

Расстояние от точки М0 (x0, y0) до прямой l: Ax+ By+ C = 0

5

y

B

A

x

Угловой коэффициент прямой, проходящей через две заданные точки

А(xА, yА), В(xВ, yВ)

Пример. Даны вершины треугольника А(– 3; 0), В(4; 2), С(2; –2).

Найти: 1) уравнение стороны АВ; 2) величину угла А; 3) уравнение медианы АМ; 4) уравнение прямой, проходящей через вершину С параллельно стороне АВ; 5) расстояние от точки С до прямой АВ.

Решение. Выберем прямоугольную систему координат и построим треугольник АВС по координатам его вершин.

                           y

                                  2

                                                               В

3

                   А                                   М   4                            х

 


                                l      -2     С

1) Воспользуемся уравнением прямой, проходящей через две точки (см. таблицу 3.2, формула 3), получим уравнение стороны АВ:

.

2) Для вычисления ÐА найдём угловые коэффициенты прямых AВ и АС с помощью формулы 5 из таблицы 3.2.

Воспользуемся теперь формулой 1 из таблицы 3.3 для вычисления угла между двумя прямыми. Угол А отсчитывается в положительном направлении, поэтому

.

3) Медиана треугольника – это отрезок прямой, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.  Пользуясь формулой деления отрезка пополам, находим середину ВС:

Медиана проходит через две точки А(–3, 0) и М(3, 0), то для записи её уравнения воспользуемся формулой 3 таблицы 3.2.

4) Для составления уравнения прямой l, которая проходит через точку С используем тот факт, что её угловой коэффициент равен угловому коэффициенту прямой АВ, т. к. прямые параллельны.

Уравнение прямой АВ, мы уже знаем: . Найдем угловой коэффициент этой прямой, для этого выполним преобразования:

.

Подставив в формулу 2 таблицы 3.2 координаты точки С и угловой коэффициент , получим

.

5) Для нахождения расстояния от точки С(2, – 2) до прямой АВ:  воспользуемся формулой 4 из таблицы 3.3:

В нашем случаи, , , следовательно,

3.3. Плоскость и прямая в пространстве

Таблица 3.4

п/п

Схематический

чертеж

Формулы

Комментарии

1

2

3

4

1

             z

 

              у

x

Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку

 М0(x0, y0, z0) - перпендикулярно заданному вектору

2

                    z

0        y

х                    

Общее уравнение плоскости

3

                z

                        M2

M1

M3

0           y

x

Уравнение плоскости проходящей через три точки

М1(x1, y1, z1), М2(x2, y2,  z2),

М3(x3, y3, z3)

1

2

3

4

4

z

0                                      

y

x

Уравнение плоскости в отрезках на осях, где a, b, c – величины отрезков, отсекаемых плоскостью на координатных осях

5

           z 

0              y

x

Угол между двумя плоскостями

6

           z

0             y

x

Условие параллельности двух плоскостей

7

           z

0             y

x

Условие перпендикулярности двух плоскостей

1

2

3

4

8

     z

                         М0  

0              y

x

Расстояние от точки М0(x0, y0,  z0)

 до плоскости

9

           z 

М0(x0, y0, z0)

0               y

x

Канонические уравнения прямой. x0, y0, z0 – координаты точки, через которую проходит прямая;

m, n, p – координаты направляющего вектора

10

           z 

М0(x0,y0, z0)

0              y

x

Параметрические уравнения прямой. x0, y0, z0 – координаты точки, через которую проходит прямая; m, n, p – координаты направляющего вектора , t – параметр

11

          z

y

х

Общие уравнения

 прямой.

1

2

3

4

12

z

               В       

А

0               y

x

Уравнения прямой, проходящей через две данные точки

А(x1, y1, z1),

В(x2, y2, z2)

13

           z 

                       

0               y

x

Угол между двумя прямыми

14

            z

0               y

x

Условие

перпендикулярности

двух прямых

15

                z

l1

l2

0               y

x

Условие параллельности двух прямых

Пример.Составить уравнение плоскости, проходящей через точку А(1, 3, 1) и имеющую нормальный вектор .

Решение.Воспользуемся формулой 1 таблицы 3.4.

В нашем случае, координаты точки, принадлежащей плоскости, равны , а координаты вектора =

=.  Значит общее уравнение плоскости имеет вид:

  .

Пример.Составить уравнение плоскости, проходящей через точку А(2, 4, – 1) и отсекающую на осях координат равные положительные отрезки.

Решение.Воспользуемся формулой 4 из таблицы 3.4, в нашем случае она будет иметь вид .

Т. к. точка А принадлежит нашей плоскости, то можно записать

.

Решая это уравнение находим, что . Следовательно, уравнение плоскости имеет вид:           .

Пример.Составить уравнения прямой, проходящей через точки А(3, 4, – 1), В(4, 2, 0).

Решение.Воспользуемся формулой 12 таблицы 3.4.

Пример. Составить параметрические уравнения прямой, проходящей через точку  параллельно вектору .

Решение. Используя формулу 10 из таблицы 3.4, получим требуемые праметрические уравнения прямой

Пример.Найти точку пересечения прямой  с плоскостью

Решение. Представим уравнения прямой в параметрическом виде:

Откуда

Подставляя последнии три уравнения в уравнение плоскости вместо  и , получим  значение параметра t:

Подставив это значение параметра в параметрические уравнения прямой, получим координаты точки пересечения прямой и плоскости:                   

3.4. Перечень основных линий 2-го порядка

Таблица 3.5

п/п

Схематический

чертеж

Каноническое уравнение

Название линии,

комментарии

Блок-схема: узел:   0
     С
1

y

                              х

Окружность

R – радиус окружности;

C(а, b) – центр окружности

Овал: b
   0     а
2

y

          В

                            А

                              x

Эллипс a – длина большой полуоси, b – длина малой полуоси.

 и  – фокусы эллипса.

, – эксцентриситет эллипса

3

y

                              x

Гипербола

а – длина действительной полуоси; b – длина мнимой полуоси.

 и  – фокусы

, – асимптоты гиперболы

– эксцетриситет.

4

y

                              x

           у

                              х

Парабола

р, q – параметр параболы

–директриса параболы , её фокус

.

 – директриса параболы , её фокус

Пример.Исследовать, какая линия определяется уравнением

Решение.Соберём члены, содержащие одну и ту же переменную, и из первой скобки вынесем коэффициент при , а из второй скобки вынесем коэффициент при y2, после чего уравнение примет вид

В каждой из скобок выделим полный квадрат

или .

Сделав замену: и разделив обе части уравнения на 20 получим каноническое уравнение:

Заданное уравнение определяет эллипс с полуосями

центр которого находится  в точке О1(– 2, 1).

С помощью параллельного переноса переносим оси координат в новое начало в точку О1(– 2, 1). В новой системе координат строим основной прямоугольник со сторонами  стороны которого параллельны новым осям координат, а центр находится в точке О1.

Вписываем в него эллипс.

                                                      y1

Овал: O1                                                                              y

 


x1

·  х

Рис. 3.1

3.5. Перечень поверхностей 2-го порядка.

Таблица 3.6

п/п

Схематический чертеж

Название поверхностей и их канонические уравнения

1

Эллипсоид

2

Однополостный

гиперболоид

3

Двуполостный

гиперболоид

Конус 2-го порядка

Эллиптический

параболоид

Гиперболический параболоид

Эллиптический

цилиндр

Гиперболический

цилиндр

Параболический

цилиндр

Раздел IV. Дифференциальное исчисление функциЙ одной переменной

4.1. Определение функции и способы задания функций

Определение. Если каждому значению хÎ D Ì R ставится в соответствие единственное значение yÎ Е Ì R, то говорят, что на множестве D определена функция y=f(x).

x независимая переменная или аргумент функции,

y зависимая переменная или функция.

Определение. Множество D называется областью определения функции, а множество Е называется областью изменения или областью значений функции y= f (x).

Эти области могут представлять собою отдельные точки числовой прямой, отрезки, интервалы этой прямой, множество всех действительных чисел.

 Способы задания функции

– табличный,

– графический,

– аналитический (с помощью формул).

Определение. Графиком функции называется множество точек плоскости, абсциссы которых есть значения независимой переменной, а ординаты равны соответствующим значениям функции.  Для  функции,  заданной аналитически,  т. е. уравнением

y= f (x), под графиком понимают множество точек М(x, y) плоскости, координаты которых удовлетворяют уравнению y= f (x).

Например, уравнение y = (x– 0,5)2 задает функцию, графиком которой является парабола (рис. 4.1).

                               y

                         

0  0,5                 x

Рис. 4.1

Функция, заданная аналитически уравнением y = f (x), определена в точке x = x0, если возможно вычислить y0 = f (x0). Множество таких точек образует область определения функции.

Пример. Найти область определения функции y = .

Решение. Так как арифметический корень определен, когда x2 – – 9 ³ 0, то данная функция определена при x£ – 3 или x³ 3.  Областью определения данной функции будет множество

xÎ D = (– ¥; – 3] È [ 3; + ¥).

4.2.Классификация функций

Определение.        Основными элементарными функциями называют функции:1. y= xa , aÎ R – степенная;

2. = ax , a > 0, a≠ 1 – показательная;

3. y = loga x, a > 0, a ≠ 1 – логарифмическая;

4. y = sinxy = cosx,   y = tgx ,   y = ctgx – тригонометрические;

5. y = arcsinxy = arccosxy = arctgxy = arcctgx  обратные тригонометрические функции.

Определение. Функция, заданная последовательной цепью нескольких функций (y= f (u), где u= φ(x)), называется сложной функцией. Например, функция  сложная и она может быть представлена следующей цепью основных элементарных функций:

y = z3, z = lg u, .

Определение. Функции, образованные из основных элементарных функций посредством конечного числа алгебраических операций или взятия функции от функции, называются элементарными. Все остальные функции называются неэлементарными. Примером неэлементарной функции может служить функция вида

у = 1 + x+ x2 + … + xn + …

Определение.       Неявной называют функцию, которая задана уравнением вида F(x, y) = 0 неразрешенным относительно функции у.

Например, уравнение  задает неявную функцию у аргумента х.

Определение. Если уравнение y = f (x) может быть однозначно разрешено относительно переменной x, т. е. существует функция

x = φ(y), такая что y = f (φ(y)), то функция x = φ(y), или в стандартных обозначениях y = φ(x), называется обратной по отношению к функции y = f (x). Очевидно, что функция y = f (x) обратная по отношению к функции  y = φ(x).

Например, для функции y = 2x обратной функцией является функция x = log2 y, или в стандартной форме y = log2 x.

Графики взаимно обратных функций симметричны относительно биссектрисы первого и третьего координатных углов.

Определение. Функция называется чётной, если , и нечётной, если , а область определения симметрична относительно начала координат.

График, четной функции симметричен относительно оси Оу, нечётной – относительно начала координат.

Определение. Функция у = называется периодической с периодом Т, если .

Определение. Функция у = называется ограниченной на множестве Х, если существует число М> 0 такое, что для всех хÎ Х выполняется неравенство | f (x) |  < М.

Например,  = sinx ограничена на R, так как для всех хÎR | f (x) | < 1, а функция  ограничена для всех x Î R, так как в этой области | f (x) | £ 2.

4.3. Предел функции

Определение. Число A называется пределом функции y= f (x) в точке x = x0, если для любого >0 существует  такое, что при | x x0 | < δ выполняется неравенство | f (x) – A | < . Это кратко записывается в виде A = .

Если A есть предел f(x) в точке x0, то на графике это иллюстрируется следующим образом. Так как из неравенства | xx0 | < δ следует неравенство| f (x) – A | < , то это значит, что для всех x, отстоящих от x0 не далее чем на δ, точка M графика функции y = f (x) лежит внутри полосы шириной 2, ограниченной прямыми у=A и y = A+ . Очевидно, что с уменьшением  величина δ также уменьшается (см. рис. 4.2).             

y

        А + e   

                                                  M

            А                                                    2ε

       А – e

                    0                     х - d  х0  х + d                    x

Рис. 4.2

Определение. Предел  называется пределом слева данной функции в точке x = x0, а предел  называется пределом справа данной функции (см. рис. 4.3).

                                               

                      y

 


f(x0 + 0)

f(x0-0)

 


0                      x0                               x

 

 

Рис. 4.3

Определение. Число A называется пределом функции y = f(x), в точке x = ± ¥, если для любого  > 0 существует число

Похожие материалы

Информация о работе

Тип:
Методические указания и пособия
Размер файла:
2 Mb
Скачали:
0

Уважаемые коллеги! Предлагаем вам разработку программного обеспечения под ключ.

Опытные программисты сделают для вас мобильное приложение, нейронную сеть, систему искусственного интеллекта, SaaS-сервис, производственную систему, внедрят или разработают ERP/CRM, запустят стартап.

Сферы - промышленность, ритейл, производственные компании, стартапы, финансы и другие направления.

Языки программирования: Java, PHP, Ruby, C++, .NET, Python, Go, Kotlin, Swift, React Native, Flutter и многие другие.

Всегда на связи. Соблюдаем сроки. Предложим адекватную конкурентную цену.

Заходите к нам на сайт и пишите, с удовольствием вам во всем поможем.