Арифметические и логические основы цифровой техники.
Системы исчисления.
Системы исчисления бывают позиционные и не позиционные.
Например: римские цифры. I I I
1, 11, 111
Основание системы счисления – P, P>1
а1, а2,…,ар – символы алфавита
А – любое число
А= аnРn + аn-1Рn-1 + …+ а1Р1 + а0Р0
Если дробное число, то:
А= аnРn + аn-1Рn-1 + …+ а1Р1 + а0Р0 + а-1Р-1 + а-mР-m
А=
Число выглядит так: аnаn-1…а1а0а-1...а-m
Рассмотрим пример: 8 2 1, 3 5
а2 а1 а0 а-1 а-2
Оптимальная система исчисления.
N – число чисел
n – число разрядов в числе
N=Pn где n=logPN
С – аппаратные затраты – денежное выражение нашей схемы.
С ~ Р·n=Р· logPN
Минимум функции будет при условии: Р=2,71…, т. е. Р=exp
Т. к. Р – целое, то Р=3 – система оптимальная.(минимальные затраты) Но, она сложна в изготовлении.
Рассмотрим пример. Пусть есть n разрядов, каждый разряд принимает 10 значений, следовательно это десятичная система. При троичной системе каждый разряд будет принимать три значения (0, 1, 2). Но такое устройство более сложное в изготовлении чем, например, при Р=2 (принимает значения - 0,1)
На практике применяют Р=2.
Р=10 в 1,5 раза сложнее, чем Р=2, следовательно затрат больше.
Чем меньше система счисления, тем больше разрядов.
10 |
2 |
8 |
16 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
2 |
10 |
2 |
2 |
3 |
11 |
3 |
3 |
4 |
100 |
4 |
4 |
5 |
101 |
5 |
5 |
6 |
110 |
6 |
6 |
7 |
111 |
7 |
7 |
8 |
1000 |
10 |
8 |
9 |
1001 |
11 |
9 |
10 |
1010 |
12 |
A |
11 |
1011 |
13 |
B |
12 |
1100 |
14 |
C |
13 |
1101 |
15 |
D |
14 |
1110 |
16 |
E |
15 |
1111 |
17 |
F |
16 |
10000 |
20 |
10 |
17 |
10001 |
21 |
11 |
Двоичная арифметика.
Для суммы:
0+0=0
0+1=1
1+0=1
1+1=10, где 0 – это сумма S, 1 – это перенос CR
Числа будут записываться как: 00, 01, 01, 10
Таблица истинности:
0 |
1 |
1 |
0 |
Для S
0 |
0 |
0 |
1 |
Для CR
Для разности:
0-0=0
1-0=1
1-1=0
1·0-1=1 где 1 – это заем
Таблица истинности:
0 |
1 |
1 |
0 |
Для разности
Для заема
0 |
1 |
0 |
0 |
Для умножения:
0·0=0
0·1=0
1·0=0
1·1=1
0 |
0 |
0 |
1 |
Таблица истинности:
Для деления:
0:1=0
1:1=1
Перевод чисел из одной системы в другую.
16=24
Примеры: 305,48 = 011 000 101, 1002, где нижние индексы указывают на систему счисления
305,416 = 0011 0000 0101, 012
5F1C, EE16 = 0101 1111 0001 1100, 1110 11102
001010111, 1101101002 = 127, 6648
01010111, 1101 10102 = 57, DA16
А=
2Е5, А16 = (2·162 + 14·161 + 5·160 + 10·16-1)10 = 741, 625
5210 = 101·10101 + 10·10100 = 1101002
Путем деления на основание системы, в которую мы хотим перевести число, будем получать остаток после каждого деления и этот остаток будет составлять цифры числа в новой системе.
Рассмотрим пример:
7010 нужно перевести в двоичную систему
70 |
2 |
|||||
0 |
35 |
2 |
||||
1 |
17 |
2 |
||||
1 |
8 |
2 |
||||
0 |
4 |
2 |
||||
0 |
2 |
2 |
||||
0 |
1 |
Следовательно, получаем 1000110
7010 нужно перевести в «8» систему
70 |
8 |
|
6 |
8 |
8 |
0 |
1 |
Получаем 106
Представление положительных и отрицательных чисел.
Прямой код числа.
Рассмотрим число 0110:
· Если «+», то 0' 0110
Где 0 показывает что число «+»
· Если «-», то 1' 0110
Где 1 показывает что число «-»
+0, 0101 запишется как 0,0101
-0, 0101 запишется как 1,0101
Обратный код числа.
Прямой код |
Обратный код |
дополнительный |
|
+0110 |
00110 |
00110 |
00110 |
-0101 |
10101 |
11010 |
11011 |
+0, 0101 |
0, 0101 |
0, 0101 |
0, 0101 |
-0, 0101 |
1, 0101 |
1, 1010 |
1, 1011 |
Обратный код – дополнение до единицы
Дополнительный код – дополнение до двух
Обратный код в сумме с исходным дает 1, а дополнительный в сумме с исходным дает 0.
Обратный код |
Дополнительный код |
|
7 |
0111 |
0111 |
6 |
0110 |
0110 |
5 |
0101 |
0101 |
4 |
0100 |
0100 |
3 |
0011 |
0011 |
2 |
0010 |
0010 |
1 |
0001 |
0001 |
0 |
0000 1111 |
0000 |
-1 |
1110 |
1111 |
-2 |
1101 |
1110 |
-3 |
1100 |
1101 |
-4 |
1011 |
1100 |
-5 |
1010 |
1011 |
-6 |
1001 |
1010 |
-7 |
1000 |
1001 |
Правило сложения для обратного кода: при сложении чисел в обратном коде знаковые разряды складываются аналогично остальным.
Перенос из знакового разряда добавляется к младшему разряду результата.
Правило сложения для дополнительных кодов:при сложении чисел в дополнительном коде знаковые разряды складываются аналогично остальным.
Перенос из знакового разряда теряется, а результат получается в дополнительном коде.
Примеры: в дополнительном коде
· +4+3=+7
0100+0011=0111
· 1+(-3)=-2
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.