Элементы гиперкомплексной динамики

Глава 9. Элементы гиперкомплексной динамики

Здесь мы рассмотрим квадратичное отображение в -х мерном гиперпространстве , исследуем свойства замыкания множества отталкивающих точек, которое является аналогом множества Жюлиа [22]. В заключение приведем компьютерные визуализации этого множества.

Далее, следуя [23], рассмотрим задачу построение цветных паттернов (мозаик) в трехмерном гиперпространстве , обладающих определенным типом симметрии. Предваряя эти результаты, начнем с гиперкомплексных чисел.

9.1. Гиперкомплексные числа и кватернионы

Гиперкомплексные числа имеют вид (см., например, [24])

,                                                               (9.1)

где  – произвольные действительные числа (), a  – некоторые символы, которые называют «мнимыми единицами». Иногда говорят, что имеется -мерное пространство с базисом  над полем вещественных чисел . Над выражениями (9.1) будем производить действия сложения (вычитания) по формулам

.

Для определения «умножения» необходимо задать «таблицу умножения», т. е. указать, чему равны всевозможные произведения , . Задание разных «таблиц умножения» приводит к разным системам гиперкомплексных чисел. Например, в случае комплексных чисел, когда , таблица умножения сводится к единственному равенству . В случае  определим таблицу умножения следующим образом:

.                                                  (9.2)

Таким образом,  и умножение не коммутативно. Введем обозначение , , . Тогда из (9.2) следует . В этом случае гиперкомплексные числа

,                                         (9.3)

называются кватернионами. Соотношение (9.3) можно представить в виде

,                  ,                  ,                  .

Здесь через  обозначено пространство комплексных чисел. Через  будем обозначать пространство кватернионов. Для любого  (также как и в пространстве ) можно определить сопряженный кватернион: . По аналогии с комплексными числами число  называется модулем кватерниона . Справедливы следующие соотношения . Наконец, гиперкомплексная система кватернионов – это система с делением.

Гиперкомплексные системы и, в частности, кватернионы хорошо известны алгебраистам. Здесь мы будем использовать гиперкомплексную систему при рассмотрении «динамической задачи» об отображениях, обобщающих известное отображение Жюлиа.

9.2. Отображение Жюлиа в гиперпространстве

Рассмотрим отображение (дискретную динамическую систему)

,            ,   ,                                  (9.4)

где  – полином степени , коэффициенты которого, вообще говоря, являются кватернионами. В качестве примера такого отображения рассмотрим квадратичное отображение

,            ,                                                      (9.5)

где  – вещественные параметры. Многое из того, о чем мы будем говорить, переносится на отображения

, где .

Исследование (9.5) сведем к анализу траекторий отображения

,            ,                                                      (9.6)

где  – подпространство пространства , элементами которого являются всевозможные гиперкомплексные числа , . Разделяя в (9.5) действительную и мнимые части () приходим к вещественному отображению в :

                                                           (9.7)

Если  и , то , . В этом случае отображение (9.7) сводится к -х мерному отображению (9.6):

                                                       (9.8)

А именно, это отображение мы и рассмотрим в данном разделе. Будем называть его -х мерным отображением Жюлиа и обозначать через . Если в (9.8) положить  и , то это отображение в свою очередь сведется к рассмотренному в гл. 6–7 двухмерному отображению Жюлиа :

                                                    (9.9)

Наконец, если  и , то (9.9) приводит к одномерному (логистическому – logistic map) отображению :

                                                            (9.10)

9.2.1. Свойства отображения

Как мы заметили, справедливо

Свойство 1.Если  и , то  сводится к .

Далее приведем другие свойства отображения , снабжая их, по возможности, доказательством.

Свойство 2.Обратное отображение  имеет вид

                          (9.11)

Свойство 3.При  отображение (9.8) имеет в ограниченной части  пространства  две неподвижных точки  и , где , ,  и , , , .

Свойство 4. При выполнении условий , ,  неподвижная точка  устойчивая, а  всегда неустойчивая.

Доказательство этого свойства следует из того, что для точки  при указанных условиях мультипликаторы  лежат внутри единичного круга на комплексной плоскости (,), а для  имеется корень вне единичной окружности. Здесь  – корни характеристического уравнения

, где  – одна из неподвижных точек.

Свойство 5. При  и  существует единственная устойчивая неподвижная точка  и единственная неустойчивая неподвижная точка . При  эти неподвижные точки сливаются и при  исчезают; от сложной точки  родится инвариантное множество – цикл: , . На интервале  имеется счетное множество подынтервалов существования устойчивых периодических точек.

Доказательство существования счетного множества подынтервалов с устойчивыми периодическими точками следует из редукции  к логистическому отображению  (9.10).

Обозначим через  замыкание множества отталкивающих (неустойчивых) точек отображения , , т.е. если , то .

Иногда это множество мы будем обозначать через . Множество  является -х мерным аналогом множества Жюлиа , Как мы заметили выше, это множество может не содержать неустойчивую неподвижную точку (из-за ее отсутствия).

Свойство 6. При  () множество  принадлежит сфере  и идуцированное на ней отображение является хаотическим.

Действительно,  и сфера является отталкивающим множеством. Так как в силу (8) имеем , то множество  расслаивается на окружности единичного радиуса с центром в начале координат, лежащие в плоскости, проходящей через ось  и прямую . Отображение на окружности , , как известно [18], хаотично. Этот факт указывает на возможность хаотичности отображения  на множестве  при .

Свойство 7. Множество  симметрично относительно осей ,  и при малых  лежит на поверхности вращения относительно