Сложное движение точки при переносном вращательном движении

Расчетная работа  К5

Сложное движение точки при переносном вращательном движении.

Дано : Диск  радиуса R = 72 см вращается вокруг неподвижной оси  Oz , перпендикулярной плоскости диска (xOy) (рис.5.1) и проходит через точку O  (диск вращается в своей плоскости ).

Уравнение вращательного движения диска дано:

,   ,   , где .

Положительное направление отсчета угла  показано на рис.5.1 дуговой стрелкой, направленной против часовой стрелки.

По ободу диска движется точка М, траекторная координата этого движения, отсчитываемая от точки «Н» , изменяется согласно уравнению

 =  + AО sin kt, где , AО,  k – постоянные величины: =0 см;

AО  = 36см,  k=  . ОО₁ = L = см .

Определить абсолютную скорость и абсолютное  ускорение (относительно неподвижной системы координат  ) точки  М    в момент времени  , где.

Решение:

За подвижную систему отсчета принимаем диск, а связанные с ним оси координат ─ подвижные оси (изображены на рис 5.2).

За абсолютную (неподвижную) систему отсчета принимаем подшипник O, а связанные с ним оси координат XOYZ ─ неподвижные оси).

Постановка задачи:

I─ Относительное движение − перемещение точки М относительно диска в подвижной системе координат   по ободу диска, т.е. по окружности (траекторный или естественный способ задания движения точки); все кинематические характеристики этого движения обозначаются с индексом «r» : , , .

II─ Переносное движение − движение неизменяемой среды, неизменно связанной с подвижной системой отсчета Псо - (диском), относительно неподвижной системы отсчета XOYZ − ( вращательное вокруг оси OZ); все кинематические характеристики этого движения обозначаются с индексом «»:,,,, , .

III─Абсолютное движение − перемещение точки М относительно неподвижной системы отсчета XOYZ; все кинематические характеристики этого движения обозначаются с индексом «»:, .

На рис.5.2 изображено положение диска и связанной с ним подвижной системы координат   в заданный момент времени:

 = (1/3)·1³ = 1/3 рад = 19°

1.Кинематические характеристики точки М в относительном

 движении

Для этого следует воспользоваться формулами  раздела “ Кинематика точки” ¾ при естественном (траекторном) способе задания ее движения.

Траекторная координата точки М ,заданная уравнением 

=  + AО sin kt , после подстановки –  =0 см;  AО  = 36см,  k=  , примет вид

= 36π· sin (π/6) ·t .                                     (5.1)

При t=1с: = 36·3,14· sin (π/6) 1=56,55 см.

a=  = 56,55/ 72 = 0,785 рад = 45°;          β = a − .

На рис.5.2 определено положение точки М на диске в момент времени  (а не в произвольном  положении, показанном на рис.5.1) в подвижной (относительной) системе отсчета ¾ при естественном (траекторном) способе задания ее движения, при котором    >O .

Cкорость точки М :  ,  где  ─ орт касательной в данной точке траектории, направленный в сторону возрастания траекторной координаты  s ;

 =            (5.2)

= 6 π² 0,866 = 59,2 × 0,866 = 52,3 см/с; так как   >0, то    .

Ускорение точки М:           ,                                             (5.3)

где  ─  касательное,  а   ─ нормальное ускорения  точки;=;        (5.4)

= - p³ 0,5= - 15,5 см/с2 .     Так как  < 0, то  ¯ .

= ;   = 51,3²/ 72 = 36,5  см/с2,     (5.5)

где  ρ  ─  радиус кривизны траектории в данной точке.

Все векторы ,  и   определены для момента времени   и изображены на чертеже (без определения ).

2.Кинематические характеристики точки М в  переносном

вращательном движении

Для этого следует воспользоваться формулами раздела “ Кинематика твердого тела” для случая вращательного движения твердого тела (диска), принятого за подвижную систему отсчета () вокруг оси  OZ.

, , , ,,.

Угловая скорость диска : =  с^-1.                   (5.6)

= 1 с-1;  так как  >0,  то OZ.

Угловое ускорение диска:  =  с^-2   .         (5.7)

= 2 с-2;  так как  > 0, то  .

Скорость точки в переносном вращательном движении:

 ; величина скорости  ,            (5.8)

где  – расстояние точки М до оси вращения тела, принятого за подвижную систему отсчета; в данном случае  = МО = , где , ─ координаты точки М, как видно из рис.6.9 определяются следующим образом:

;   .                  (5.9)

= 72 0,899 – 50,76  0,946 =

=  64,7  –  48   =  16,7 см;

= 72  0,438 + 50,76  0,325 =

= 31,5 + 16,5  = 48 см.

=

Скорость точки М в переносном движении:

;  =1 50,9 = 50,9 см/с,  вектор   в сторону .

Ускорение точки в переносном движении   =  + ,               (5.10)

где  осестремительное  ускорение точки в переносном движении,

= ,  величина его ─  =;              (5.11)

= 50,9 см/с2. 

Направление вектора ─ по МО от точки М к оси вращения  ОZ.

Вращательное ускорение точки  М в переносном движении,

= , величина его ─  = ;                             (5.12)

= 2  50,9 = 101,8 см/с².

Так как вращение диска происходит вокруг оси  ОZ ускоренно , т.е.

, то и вектор   .

Все векторы определены для данного момента времени  и направление их показано на  рис.5.2 (без определения геометрической суммы ускорений ─  ).

Определение  ускорения  Кориолиса

Ускорение  Кориолиса определяется векторным произведением

                                     (5.13), из  которого следуют его величина и направление.

Согласно правилу векторного умножения, вектор  направлен перпендикулярно плоскости, в которой лежат векторы   и   (рис.5.2), в ту сторону, откуда поворот  от   к   на наименьший угол кажется против направления часовой стрелки ( Oz;  , т.е.  ¯).

Величина  ускорения Кориолиса определяется как

.                       (5.14)

= 2×1×51,3× sin 90°  = 102,6 см/с2.

3. Кинематические характеристики точки в абсолютном движении

Для определения скорости и ускорения точки  М в абсолютном движении, необходимо воспользоваться теоремами «о сложении скоростей и  сложении ускорений », где ,  ─ являются результатом  геометрического суммирования соответствующих величин относительного и переносного движения:

, величина скорости: .   (5.15)

или в проекциях на оси неподвижной системы координат OXYZ :

,  величина:               (5.16)

Как видно из рис.5.2 векторы всех составляющих скоростей и ускорений точки М лежат в плоскости XOYZ, в которой лежат и оси М , поэтому в данном примере рациональнее  найти величины  и   из следующих выражений:

, где=см/с;

 см/с.

=   см/с.

, где 

=

=см/с²;

=

=  см/с².

         см/с²

Ответ: = 39 cм/c;     = 160 cм/c²