Сборник задач по дисциплине "Теоретическая механика". Часть 2 (Решение задач № 21-28)

Страницы работы

9 страниц (Word-файл)

Содержание работы

21. Рассмотрим текущее положение точки М (рис. 3.29). Ее ускорение согласно теореме сложения ускорений . Ускорение при прямолинейном движении относительно диска . Переносное ускорение за счет вращения диска , где осестремительное ускорение

,, а вращательное ускорение

. Ускорение Кориолиса

 Условием того, что ускорение точки М всегда направлено по радиусу, является

.

Оно дает дифференциальное уравнение первого порядка

, решаемое совместно с начальным условием .

Разделением переменных получим  , и последующим интегрированием , далее

. Так как , то угол поворота

.

Не ограничивая общности угол поворота можно отсчитывать от начального положения радиуса ОМ, при этом .

Ответ: .

22. Движение точки М (рис. 3.30) представляет собой сложение движений, и ее ускорение вычисляем по теореме сложения ускорений . Относительное ускорение при прямолинейном движении точки по стержню . Переносное движение представляет собой движение точки плоскопараллельно движущегося стрежня АВ, в которой в этот момент времени оказалась точка М, т.е. середины стержня. Переносное ускорение

.

Ускорение , осестремительное ускорение , вращательное ускорение . Ускорение Кориолиса .

Условие направленности ускорения точки М в показанном положение вдоль стержня получается проецированием теоремы сложения ускорений на перпендикуляр к прямой , т.е.

.                                                (3.34)

Мгновенный центр скоростей стержня АВ (точка ) лежит на пересечении перпендикуляров к векторам скоростей точек А и В.  Для угловой скорости

.

Для нахождения углового ускорения стержня  рассмотрим движение точки В. Ее ускорение

.                                                      (3.35)

Осестремительное ускорение , . Вращательное ускорение . Проецированием (3.35) на перпендикуляр к прямой  получим

, т.е. .

Отсюда . Подставив найденные значения в (3.34) получим , или .

Ответ: .

          23. Скорость тележки  (рис. 3.31)складывается из скорости  за счет удлинения участка троса  и скорости  за счет поворота этого участка вокруг точки . Тогда .

С другой стороны , поэтому .

Ответ: .

24. Запишем теорему сложения скоростей для точки В, связав подвижную систему отсчета с угольником DOE (рис. 3.32)

          .       (3.36)

Взяв точку С за полюс имеем .

С другой стороны .

В проекциях на оси  и  (3.36) дает систему двух уравнений:

   (3.37)

Она содержит три неизвестные величины , , . Чтобы число уравнений равнялось числу неизвестных используем теорему сложения скоростей в проекциях на оси ,  для точки А: . Так как , , , то в проекции на ось :

.                                                       (3.38)

Совместным решением (3.37) и (3.38) получим

, , .

Отсюда .

Для нахождения углового ускорения угольника DOE используем теорему сложения ускорений для точек В и А (рис. 3.33).

                 (3.39)

Ускорение точки В . Ускорение . Осестремительное ускорение , .

Вращательное ускорение .

Переносное ускорение точки В  , его осестремительная составляющая , , а вращательная составляющая . Ускорение Кориолиса .

В проекциях на оси координат (3.39) даст

                            (3.40)

Последние два уравнения содержат три неизвестных , , .

Для нахождения уравнений, позволяющих найти все неизвестные, воспользуемся теоремой сложения ускорений для точки А:

.                                                                          (3.41)

, где осестремительное ускорение , вращательное ускорение .

Переносное ускорение , его осестремительная составляющая , вращательная составляющая , .Ускорение Кориолиса .  Тогда (3.41) в проекции на ось  даст

                                        (3.42).

Совместным решением (3.40) и (3.42) получим , и потому .

Ответ: , .

25. Согласно уравнениям относительного движения точки , т.е. точка М движется относительно плоскости  прямолинейно вдоль оси  так что  (рис. 3.34). По теореме сложения ускорений . Относительное ускорение при прямолинейном движении  ( - единичный вектор касательной к траектории в относительном движении).

Переносное ускорение за счет вращения точки вместе с плоскостью  , его осестремительная составляющая , ; вращательная составляющая . Угловое ускорение , и .

Ускорение Кориолиса .

Тогда условием того, что абсолютное ускорение направлено вдоль прямой , является , т.е. это имеет место при . Вектор абсолютного ускорения точки в этот момент времени направлен вдоль оси  и равен .

Ответ: .

26.1-й способ. Во введенной системе координат (рис. 3.35) . Дифференцированием по времени получим , или . Отсюда .

Дальнейшим дифференцированием получим .

2-й способ. Рассмотрим покой точки В как результат сложения движения стержня АВ и проскальзывания ползуна вдоль стержня. Тогда по теореме сложения скоростей , то есть . Так как , то проецируя теорему сложения скоростей на перпендикуляр к прямой  получим . Так как , то . Дифференцированием аналогично 1-му способу находим угловое ускорение стержня АВ.

          3-й способ.  Построим мгновенный центр скоростей стержня АВ как точку пересечения перпендикуляров к векторам  и . Тогда . Дифференцированием находим угловое ускорение.

4-й способ.  Свяжем неподвижную систему координат с вращающейся муфтой В. По теореме сложения скоростей для точки А . Тогда , или . Дифференцированием находим угловое ускорение.

Ответ: , .

27.Запишем уравнения связи для рассматриваемой системы с двумя степенями свободы (рис. 3.36): . В проекциях на оси координат

Умножением первого равенства на , второго на  и вычитанием из него первого получим

.  (3.43)

При , и из (3.43) следует , или . Так как , то возведением левой и правой части в квадрат получим , откуда . Но . Выбирая корень, соответствующий , имеем при .

Дифференцированием (3.43) по времени получим

,                  (3.44)

т.е. при , .

Дифференцированием (3.44) по времени получим

т.е. при .

Ответ: , .

28.Согласно уравнению связи для рассматриваемой системы (рис. 3.37) , т.е. . Дифференцированием по времени получим , или .

Угловая скорость . При . Дальнейшим дифференцированием получим

. Угловое ускорение . При .

Для точки С:

Составляющие скорости точки С

При .

Составляющие ускорения точки С

При , .

Замечание. Скорость и ускорение точки С также можно вычислить по формулам, характерным для плоскопараллельного движения стержня ВС.

.

Составляющие скорости точки С вдоль осей координат

Ускорение точки С  . Осестремительное ускорение , . Вращательное ускорение , .

Составляющие ускорения точки С вдоль осей координат

Подставляя значения, соответствующие углу , приходим к ранее полученному результату.

Ответ: ,

Библиографический список

1.  Курс теоретической механики / Под редакцией К.С. Колесникова. М.: Изд–во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2000.

2.  Мещерский И.В. Задачи по теоретической механике. С-Пб: Лань, 1998.

3.  Пятницкий Е.С., Трухан Н.М., Ханукаев Ю.И., Яковенко Г.Н. Сборник задач по теоретической механике. М.: Наука, 1980.

4.  Исмагамбетов М.У., Рощанский В.И. Задачи по основам механики. С-Пб, Изд. центр СПбГМТУ, 1999.

Похожие материалы

Информация о работе