Механика \ Теоретическая механика

Сборник задач по дисциплине "Теоретическая механика". Часть 2 (Решение задач № 21-28)

Страницы работы

9 страниц (Word-файл)

Скачать файл

Содержание работы

21. Рассмотрим текущее положение точки М (рис. 3.29). Ее ускорение согласно теореме сложения ускорений . Ускорение при прямолинейном движении относительно диска . Переносное ускорение за счет вращения диска , где осестремительное ускорение

,, а вращательное ускорение

. Ускорение Кориолиса

Условием того, что ускорение точки М всегда направлено по радиусу, является

Оно дает дифференциальное уравнение первого порядка

, решаемое совместно с начальным условием .

Разделением переменных получим , и последующим интегрированием , далее

. Так как , то угол поворота

Не ограничивая общности угол поворота можно отсчитывать от начального положения радиуса ОМ, при этом .

Ответ: .

22. Движение точки М (рис. 3.30) представляет собой сложение движений, и ее ускорение вычисляем по теореме сложения ускорений . Относительное ускорение при прямолинейном движении точки по стержню . Переносное движение представляет собой движение точки плоскопараллельно движущегося стрежня АВ, в которой в этот момент времени оказалась точка М, т.е. середины стержня. Переносное ускорение

Ускорение , осестремительное ускорение , вращательное ускорение . Ускорение Кориолиса .

Условие направленности ускорения точки М в показанном положение вдоль стержня получается проецированием теоремы сложения ускорений на перпендикуляр к прямой , т.е.

. (3.34)

Мгновенный центр скоростей стержня АВ (точка ) лежит на пересечении перпендикуляров к векторам скоростей точек А и В. Для угловой скорости

Для нахождения углового ускорения стержня рассмотрим движение точки В. Ее ускорение

. (3.35)

Осестремительное ускорение , . Вращательное ускорение . Проецированием (3.35) на перпендикуляр к прямой получим

, т.е. .

Отсюда . Подставив найденные значения в (3.34) получим , или .

Ответ: .

23. Скорость тележки (рис. 3.31)складывается из скорости за счет удлинения участка троса и скорости за счет поворота этого участка вокруг точки . Тогда .

С другой стороны , поэтому .

Ответ: .

24. Запишем теорему сложения скоростей для точки В, связав подвижную систему отсчета с угольником DOE (рис. 3.32)

. (3.36)

Взяв точку С за полюс имеем .

С другой стороны .

В проекциях на оси и (3.36) дает систему двух уравнений:

(3.37)

Она содержит три неизвестные величины , , . Чтобы число уравнений равнялось числу неизвестных используем теорему сложения скоростей в проекциях на оси , для точки А: . Так как , , , то в проекции на ось :

. (3.38)

Совместным решением (3.37) и (3.38) получим

, , .

Отсюда .

Для нахождения углового ускорения угольника DOE используем теорему сложения ускорений для точек В и А (рис. 3.33).

(3.39)

Ускорение точки В . Ускорение . Осестремительное ускорение , .

Вращательное ускорение .

Переносное ускорение точки В , его осестремительная составляющая , , а вращательная составляющая . Ускорение Кориолиса .

В проекциях на оси координат (3.39) даст

(3.40)

Последние два уравнения содержат три неизвестных , , .

Для нахождения уравнений, позволяющих найти все неизвестные, воспользуемся теоремой сложения ускорений для точки А:

. (3.41)

, где осестремительное ускорение , вращательное ускорение .

Переносное ускорение , его осестремительная составляющая , вращательная составляющая , .Ускорение Кориолиса . Тогда (3.41) в проекции на ось даст

(3.42).

Совместным решением (3.40) и (3.42) получим , и потому .

Ответ: , .

25. Согласно уравнениям относительного движения точки , т.е. точка М движется относительно плоскости прямолинейно вдоль оси так что (рис. 3.34). По теореме сложения ускорений . Относительное ускорение при прямолинейном движении ( - единичный вектор касательной к траектории в относительном движении).

Переносное ускорение за счет вращения точки вместе с плоскостью , его осестремительная составляющая , ; вращательная составляющая . Угловое ускорение , и .

Ускорение Кориолиса .

Тогда условием того, что абсолютное ускорение направлено вдоль прямой , является , т.е. это имеет место при . Вектор абсолютного ускорения точки в этот момент времени направлен вдоль оси и равен .

Ответ: .

26.1-й способ. Во введенной системе координат (рис. 3.35) . Дифференцированием по времени получим , или . Отсюда .

Дальнейшим дифференцированием получим .

2-й способ. Рассмотрим покой точки В как результат сложения движения стержня АВ и проскальзывания ползуна вдоль стержня. Тогда по теореме сложения скоростей , то есть . Так как , то проецируя теорему сложения скоростей на перпендикуляр к прямой получим . Так как , то . Дифференцированием аналогично 1-му способу находим угловое ускорение стержня АВ.

3-й способ. Построим мгновенный центр скоростей стержня АВ как точку пересечения перпендикуляров к векторам и . Тогда . Дифференцированием находим угловое ускорение.

4-й способ. Свяжем неподвижную систему координат с вращающейся муфтой В. По теореме сложения скоростей для точки А . Тогда , или . Дифференцированием находим угловое ускорение.

Ответ: , .

27.Запишем уравнения связи для рассматриваемой системы с двумя степенями свободы (рис. 3.36): . В проекциях на оси координат

Умножением первого равенства на , второго на и вычитанием из него первого получим

. (3.43)

При , и из (3.43) следует , или . Так как , то возведением левой и правой части в квадрат получим , откуда . Но . Выбирая корень, соответствующий , имеем при .