Кинематические уравнения Эйлера. Кинематические уравнения движения твердого тела

Кинематические уравнения Эйлера

Совокупность n  вращений вокруг пересекающихся в одной точке осей эквивалентна одному вращению с мгновенной угловой скоростью.

Полученное правило позволит выразить проекции мгновенной угловой скорости тела, имеющего одну неподвижную (.)О, через углы Эйлера и их производные.

Положение подвижной с.к.  , жестко связанной с телом, полностью определяется относительно неподвижной с.к.     углами Эйлера   θ,  ψ,  φ. Абсолютная угловая скорость     тела:   

                       ^*)

Модуль угловой скорости:    

Составим таблицу направляющих   cos  единичных векторов    в системе подвижных осей    ^**))

Проецируя обе части (*) на оси   и учитывая таблицу cos, найдем:

Аналогично можно найти проекции вектора угловой скорости на неподвижные оси координат.

^**) Разложим единичный вектор   на две взаимноперпендикулярные составляющие, направив одну из них на оси ξ   (она равна ), вторая составляющая, равная произведению   sinθ   на единичный вектор вспомогательной оси будет находиться в плоскости   . Вспомогательная ось составляет с осями  η   и  ζ  углы     и

.

Регулярная прецессия

В процессе движения:  

Вектор      лежит в плоскости  .

 - единичный вектор, направленный по  .

  , т.е.  – по линии углов производная вектора  , имеющего закрепленную точку

  - скорость (.) К. Для (.) К угловая скорость  , а радиус- вектор   .

   - по величине

При регулярной процессии угловая скорость и угловое ускорение построены по величине и перпендикулярны.

Общий случай движения свободного твердого тела

Твердое тело произвольным образом перемещается в пространстве.

O_xyz   - неподвижная, базовая с.к.

Выбираем производно (.)Р  за полюс и свяжем с ней две с.к.

   - перемещается поступательно по отношению к базовой

   - жестко связана с телом.

По отношению системы    тело вращается вокруг неподвижной точки Р, его положение определено углами  φ, ψ, θ .

Положение системы     по отношению к базовой определено координатами

  Кинематические уравнения движения твердого тела

Твердое тело, произвольно движущееся в пространстве обладает шестью степенями свободы

Движение точки относительно систем координат, перемещающихся друг относительно друга.

Пример: движение самолета прямолинейное с       движение груза относительно 2-х наблюдателей.

В некоторых случаях целесообразно изучать движение точки одновременно по отношению к двум системам координат, одна из которых совершает заданное движение по отношению к другой (основной), принимаемой за неподвижную.

Сложным или абсолютным движением точки называется ее движение по отношению к системе координат, выбранной за основную.

Движение точки по отношению к подвижной системе отсчета называется относительным движением точки.

Движение подвижной системы отсчета по отношению к основной называется переносным движением.

Абсолютная и относительная производные от вектора

Пусть вектор    определен в подвижной системе координат, т.е. проекции его  a_x, a_y,  a_z  на оси подвижной системы – заданные функцией времени. Если    - единичные векторы подвижной системы координат, то

Абсолютная производная вектора    по времени:

Сумма первых трех слагаемых – производная от     в подвижной системе координат называется относительной или локальной производной и обозначается  , т.е.

Производная по времени от вектора постоянного модуля по скалярному аргументу равна:

Т.е.

где     - угловая  скорость подвижной системы координат.

Следовательно:

Абсолютная производная вектора равна сумме относительной производной этого вектора и векторного произведения угловой скорости подвижной системы координат на этот вектор.

Теорема о сложении скоростей

Рассмотрим движущуюся (.)М

Ox₁y₁z₁  - неподвижная с.к.

Pxyz  - подвижная с.к

Скорость (.)М по отношению к основной с.к. называется абсолютной скоростью -  . Скорость    точки по отношению к подвижной с.к. называется относительной скоростью.

Переносной скоростью точки называют скорости той точки подвижной с.к., с которой в данный момент совпадает движущаяся точка.

(.) М при своем движении относительно подвижного тела, с которым жестко связана подвижная с.к., проходит через разные точки этого тела, имеющие отличные друг